Bruchungleichungen, Lösen

Ungleichungen, die Bruchterme enthalten, werden Bruchungleichungen genannt.
Ein Beispiel für eine Bruchungleichung ist: x + 2 x 5 > 0
Um alle Lösungen dieser Bruchungleichung zu finden, müssen zwei Fälle unterschieden werden, denn es gibt zwei Möglichkeiten, damit ein Bruch größer als null ist:

      1. Fall: Der Zähler und der Nenner sind beide größer als null.
      2. Fall: Der Zähler und der Nenner sind beide kleiner als null.

Beide Fälle müssen untersucht werden, um alle Lösungen der Bruchungleichung zu finden.

1. Fall: Zähler und Nenner sind beide positiv.
x + 2 > 0 x 5 > 0 x > 2 x > 5
Lösungen sind alle Zahlen, die gleichzeitig größer als –2 und größer als 5 sind. Das sind alle Zahlen, für die x > 5 gilt.

2. Fall: Zähler und Nenner sind beide negativ.
x + 2 < 0 x 5 < 0 x < 2 x < 5
Lösungen sind alle Zahlen, die gleichzeitig kleiner als –2 und kleiner als 5 sind. Das sind alle Zahlen, für die x < –2 gilt.

Lösungen für die Bruchungleichung sind also alle x,
für die x > 5 oder x < –2 gilt.
L = { x Q | x < 2 x > 5 }
Bei x = –2 wird der Zähler null und der Nenner ist nicht null. Also hat der Bruchterm den Wert null.
Bei x = 5 wird der Nenner null, dort ist der Bruchterm also nicht definiert.

Weiterführende Betrachtungen

Der Bruchterm ist für alle Zahlen, die größer als –2 und kleiner als 5 sind, negativ.
Eine übersichtliche Zusammenfassung der Ergebnisse erhält man, wenn man die Bruchgleichung als Funktionsgleichung y = x + 2 x 5 betrachtet, eine Wertetabel le berechnet und diese in einem Koordinatensystem darstellt.

Grafische Veranschaulichung des Bruchterms

Grafische Veranschaulichung des Bruchterms

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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