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Bruchungleichungen, Lösen

Ungleichungen, die Bruchterme enthalten, werden Bruchungleichungen genannt.
Ein Beispiel für eine Bruchungleichung ist: x + 2 x − 5 > 0
Um alle Lösungen dieser Bruchungleichung zu finden, müssen zwei Fälle unterschieden werden, denn es gibt zwei Möglichkeiten, damit ein Bruch größer als null ist:

  1. Der Zähler und der Nenner sind größer als null.
  2. Der Zähler und der Nenner sind kleiner als null.

Beide Fälle müssen untersucht werden, um alle Lösungen der Bruchungleichung zu finden.

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Ungleichungen, die Bruchterme enthalten, werden Bruchungleichungen genannt.
Ein Beispiel für eine Bruchungleichung ist: x + 2 x − 5 > 0
Um alle Lösungen dieser Bruchungleichung zu finden, müssen zwei Fälle unterschieden werden, denn es gibt zwei Möglichkeiten, damit ein Bruch größer als null ist:

      1. Fall: Der Zähler und der Nenner sind beide größer als null.
      2. Fall: Der Zähler und der Nenner sind beide kleiner als null.

Beide Fälle müssen untersucht werden, um alle Lösungen der Bruchungleichung zu finden.

1. Fall: Zähler und Nenner sind beide positiv.
x + 2 > 0         ∧   x − 5   > 0           x >   − 2         ∧                   x > 5
Lösungen sind alle Zahlen, die gleichzeitig größer als –2 und größer als 5 sind. Das sind alle Zahlen, für die x > 5 gilt.

2. Fall: Zähler und Nenner sind beide negativ.
x + 2 < 0         ∧   x − 5 < 0     x     < −   2         ∧                   x < 5
Lösungen sind alle Zahlen, die gleichzeitig kleiner als –2 und kleiner als 5 sind. Das sind alle Zahlen, für die x < –2 gilt.

Lösungen für die Bruchungleichung sind also alle x,
für die x > 5 oder x < –2 gilt.
L = {   x ∈ Q   |   x < − 2   ∨   x > 5   }
Bei x = –2 wird der Zähler null und der Nenner ist nicht null. Also hat der Bruchterm den Wert null.
Bei x = 5 wird der Nenner null, dort ist der Bruchterm also nicht definiert.

Weiterführende Betrachtungen

Der Bruchterm ist für alle Zahlen, die größer als –2 und kleiner als 5 sind, negativ.
Eine übersichtliche Zusammenfassung der Ergebnisse erhält man, wenn man die Bruchgleichung als Funktionsgleichung y = x + 2 x − 5 betrachtet, eine Wertetabel le berechnet und diese in einem Koordinatensystem darstellt.

  • Grafische Veranschaulichung des Bruchterms
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Bruchungleichungen, Lösen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/bruchungleichungen-loesen (Abgerufen: 20. May 2025, 14:49 UTC)

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  • Bruchterme
  • Koordinatensystem
  • Bruchungleichung
  • Lösungen
  • Nenner
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Bruchgleichungen, Lösen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.

Bruchgleichungen lassen sich folgendermaßen lösen:

  1. Es wird der Hauptnenner der Bruchgleichung z. B. durch
    Primfaktorzerlegung oder durch Faktorisierung bestimmt.
  2. Beide Seiten der Bruchgleichung werden mit dem Hauptnenner multipliziert.
  3. Auf beiden Seiten werden die Brüche gekürzt.
  4. Die neue Gleichung wird mit den bekannten Schritten für
    äquivalentes Umformen gelöst.
  5. Es muss geprüft werden, ob die Lösung der neuen Gleichung auch zur Definitionsmenge der Bruchgleichung gehört.

Bruchterme, Rechnen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine (freie) Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms mit einer Variablen ist die Menge aller Zahlen, für die der Term nach ihrem Einsetzen in die Variable definiert ist. Der Definitionsbereich einer Bruchgleichung ist entsprechend die Menge aller Zahlen, für die alle Bruchterme der Bruchgleichung definiert sind.
Ein Bruchterm ist genau dann null, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, ≤ , ≥ oder ≠ steht, bilden eine Ungleichung.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

  • Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
    (Aus < wird >, aus ≤ wird ≥ und umgekehrt.)
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