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Bruchumwandlungen

Endliche Dezimalbrüche mit n Stellen nach dem Komma können als gemeine Brüche mit dem Nenner 10 n geschrieben werden.
Auch periodische Dezimalbrüche lassen sich in gemeine Brüche umwandeln.

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Endliche Dezimalbrüche mit n Stellen nach dem Komma können als gemeine Brüche mit dem Nenner 10 n geschrieben werden, z. B.:

   0,13 = 13 100                           2,473 = 2473 1000                           0,0007 = 7 10 4 = 7 10000

Bei periodischen Dezimalbrüchen mit der Periodenlänge m geht man folgendermaßen vor:

  1. Man multipliziert den Bruch mit 10 m und subtrahiert den ursprünglichen Bruch.
    Das Ergebnis E ist ein endlicher Dezimalbruch, der dem ( 10 m − 1 ) -Fachen des ursprünglichen Bruches entspricht.
  2. Dividiert man dieses Ergebnis E durch 10 m − 1 , so erhält man den gesuchten gemeinen Bruch.

Umzuwandeln ist:

          p = 0, 3 ¯                                                                                         p = 0, 12 ¯   10   p = 3,3333...                                                               100   p = 12,12121212...     9   p     =   3,0 ¯                                                                                         p = 0,12121212... ¯           p = 3                                                                                       99   p = 12 p = 3 9 = 1 3                                                                             p = 12 99 = 4 33 p = 0,12 34 ¯ = 0,1234343434...     ( V o r p e r i o d e     12 )   100 p = 12,343434...             p = 0,1234343.. ¯ .       99 p = 12,22 9900 p = 1222               p = 1222 9900 = 611 4950

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Bruchumwandlungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/bruchumwandlungen (Abgerufen: 20. May 2025, 15:28 UTC)

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Bruchterme, Rechnen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine (freie) Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms mit einer Variablen ist die Menge aller Zahlen, für die der Term nach ihrem Einsetzen in die Variable definiert ist. Der Definitionsbereich einer Bruchgleichung ist entsprechend die Menge aller Zahlen, für die alle Bruchterme der Bruchgleichung definiert sind.
Ein Bruchterm ist genau dann null, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Dezimalbrüche, Division

Die Division von Dezimalbrüchen lässt sich auf die Division ganzer Zahlen zurückführen.
 

Diagonalverfahren

Obwohl die Menge der gebrochenen Zahlen unendlich und überall dicht ist, kann man die gebrochenen Zahlen eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen, man kann sie abzählen.
Die Menge ℚ + der gebrochenen Zahlen ist abzählbar. Dies geschieht nach dem sogenannten cantorschen Diagonalverfahren (benannt nach GEORG CANTOR, 1845 bis 1918).

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern von Brüchen werden Zähler und Nenner mit der gleichen von 0 und 1 verschiedenen Zahl multipliziert.
Beim Kürzen von Brüchen werden Zähler und Nenner durch die gleiche von 0 und 1 verschiedene Zahl dividiert.
Im Berechnungsbeispiel können beliebige gemeine Brüche erweitert oder gekürzt werden.

Gebrochene Zahlen, Historisches

Brüche wurden im Zusammenhang mit Teilungsaufgaben sehr früh verwendet, wesentlich früher als z. B. negative Zahlen. Allerdings ging man über den Nenner 12 kaum hinaus. War es dennoch nötig, kleinere Teile zu berechnen, wurde einfach die Einheit verkleinert.

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