Dezimalbrüche

Gemeine Brüche z n lassen sich in Dezimalbrüche umwandeln, indem man den Zähler z durch den Nenner n dividiert.

Der so entstehende Dezimalbruch wird

  • endlich genannt, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält, z. B.
    3 40 = 3 2 3 5 = 0,075 143 125 = 143 5 3 = 1,144 7 2500 = 7 2 2 5 4 = 0,0028

  • rein periodisch genannt, wenn der Nenner die Primfaktoren 2 und 5 nicht enthält, z. B.
    1 3 = 0, 3 ¯ 5 13 = 0, 384615 ¯ 2 7 = 0, 285714 ¯
    Die Periode wird im Allgemeinen dadurch angegeben, dass die sich wiederholenden Ziffern überstrichen werden.

  • gemischt periodisch (periodisch erst nach einer endlichen Vorperiode) genannt, wenn der Nenner (mindestens) einen der Primfaktoren 2 oder 5 und noch (mindestens) einen anderen Primfaktor enthält, z. B.
    1 6 = 1 2 3 = 0,1 6 ¯ 3 28 = 0,10 714285 ¯ 323 375 = 0,861 3 ¯

Die Länge der Vorperiode ist gleich der höchsten Potenz, die einer der Primfaktoren 2 oder 5 des Nenners hat, wobei Zähler und Nenner als teilerfremd vorausgesetzt werden (Bruch weitestgehend gekürzt). So ist bezogen auf die obigen Beispiele:

  • 6 = 2 3 , höchste Potenz von 2 ist 1;
    Länge der Vorperiode: 1(0,1...)
  • 28 = 2 2 7 , höchste Potenz von 2 ist 2;
    Länge der Vorperiode: 2 (0,10...)
  • 375 = 3 5 3 , höchste Potenz von 5 ist 3;
    Länge der Vorperiode: 3 (0,861...)

Die Länge der Periode hängt ebenfalls von den Primfaktoren des Nenners ab. Die Periodenlänge ist im Höchstfall um 1 kleiner als der Nenner, oftmals ist die Periode aber kürzer. So ist:
          1 9 = 0, 1 ¯ Periodenlänge: 1
        11 13 = 0, 076923 ¯ Periodenlänge: 6
          3 7 = 0, 428571 ¯ Periodenlänge: 6 (maximal)
Hat ein Stammbruch die maximale Periodenlänge, so ergeben seine Vielfachen Dezimalbrüche, deren Perioden die gleiche Ziffernfolge haben, nur mit jeweils einer anderen Ziffer beginnen.
          1 7 = 0, 142857 ¯ 2 7 = 0, 285714 ¯ 3 7 = 0, 428571 ¯ 4 7 = 0, 571428 ¯ 5 7 = 0, 714285 ¯ 6 7 = 0, 857142 ¯

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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