Diagonalverfahren

Obwohl die Menge der gebrochenen Zahlen unendlich und überall dicht ist, kann man die gebrochenen Zahlen eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen, man kann sie abzählen.
Die Menge ${\mathbb{Q}}_{+}$ der gebrochenen Zahlen ist abzählbar. Dies geschieht nach dem sogenannten cantorschen Diagonalverfahren (benannt nach GEORG CANTOR, 1845 bis 1918) wie folgt:

Die gebrochenen Zahlen werden nach nebenstehendem Schema angeordnet. Dabei werden offensichtlich alle erfasst. Man zählt nun von 1 beginnend in Pfeilrichtung und lässt dabei alle Brüche, die eine schon erfasste gebrochene Zahl darstellen, weg. Die Reihenfolge lautet also:
$1;\frac{1}{2};2;3;\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{2}{3};\frac{3}{2};4;5;\frac{1}{5};\mathrm{...}$
Man hat die gebrochenen Zahlen abgezählt, allerdings nicht mehr in einer der Größe nach geordneten Reihenfolge dargestellt.