Orthogonalität

Orthogonalität – Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene

Für zwei Geraden g und h gilt:

  • g und h haben genau einen Punkt gemeinsam
  • g und h schneiden einander

Haben zwei Geraden verschiedene Richtungen, so schneiden sie einander in einem Punkt.

Schneidende Geraden

Schneidende Geraden

Zueinander senkrechte Geraden

Ein Sonderfall für Geraden verschiedener Richtung sind zueinander senkrechte Geraden. Zwei Geraden g und h heißen senkrecht zueinander (orthogonal) genau dann, wenn sie sich unter einem rechten Winkel schneiden. Zeichen: g h
Die Relation „... ist senkrecht zu ...“ wird hier auf den rechten Winkel zurückgeführt. Es ist ebenso möglich, diese Relation mithilfe der Geradenspiegelung zu erklären:
Zwei Geraden sind zueinander senkrecht genau dann, wenn sie sich schneiden und eine Gerade bei Spiegelung an der anderen Geraden auf sich selbst abgebildet wird.
Für die Relation „... ist senkrecht zu ...“ zwischen Geraden gilt:

  • Wenn g senkrecht zu h ist, dann ist stets auch h senkrecht zu g.
  • Wenn g h und h k, so ist stets g || k.
Orthogonale Geraden

Orthogonale Geraden

Zu jeder Geraden g gibt es beliebig viele senkrechte Geraden. Durch Angabe eines Punktes P, durch den die zu g senkrechte Gerade gehen soll, wird aus allen diesen Senkrechten eindeutig genau eine ausgewählt.

Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P gibt es genau eine Gerade h, die zu g senkrecht ist und durch P geht.

Erzeugen senkrechter Geraden
Sie können

  • mit Zirkel und Lineal konstruiert (Grundkonstruktion) oder
  • mit einem rechten Winkel (Zeichendreieck, Geodreieck) gezeichnet werden.

Eine weitere Möglichkeit ist die Erzeugung orthogonaler Geraden durch Falten unter Anwendung der Definition über die Geradenspiegelung. Die Konstruktion der Senkrechten zu einer Geraden g durch einen Punkt P ist damit stets eindeutig.

Senkrechte Geraden zur Gerade g

Senkrechte Geraden zur Gerade g

Lot und Waagerechte

Die Strecke PL, die auf der Senkrechten zu g durch den Punkt P liegt, heißt das Lot von P auf g. L heißt Lotfußpunkt. Hier besteht ein Unterschied zur Umgangssprache:
Die mathematische Relation „... ist senkrecht zu ...“ beschreibt die Beziehung zwischen zwei Geraden, was nicht notwendigerweise bedeutet, dass von zwei zueinander orthogonalen Geraden eine „senkrecht nach unten“ weist.

Lot von P auf g

Lot von P auf g

Die Begriffe „lotrecht“ (umgangssprachlich wird dafür oft auch senkrecht benutzt) und „waagerecht“ beschreiben demgegenüber Eigenschaften einzelner Geraden. So heißt eine Gerade lotrecht, wenn sie durch den Massemittelpunkt der Erde verläuft, also gewissermaßen „senkrecht“ zur Erdoberfläche ist. Der Begriff „lotrecht“ weist auf das Lot, ein an einer Schnur befestigtes Massestück, als Mittel zur Überprüfung dieser Eigenschaft hin.

Eine Gerade heißt waagerecht, wenn sie „parallel“ zur als Ebene idealisierten Erdoberfläche verläuft. Der Begriff waagerecht weist auf die zur Überprüfung oft benutzte Wasserwaage hin. Waagerechte und lotrechte Geraden sind senkrecht zueinander.

Orthogonalität - Wagerechte Wasserwaage

Orthogonalität im Raum

Durch einen Punkt lassen sich im Raum unendlich viele Geraden legen, die sich in diesem Punkt schneiden. Die Menge aller Geraden des Raumes, die einen und nur einen Punkt gemeinsam haben, bildet ein Geradenbüschel.
Den allen Geraden gemeinsamen Punkt nennt man Träger des Geradenbüschels.

Zwei Geraden des Raumes, die einander schneiden, liegen in einer Ebene. Tun sie dies unter einem rechten Winkel, so sind sie orthogonal zueinander.
Zwei Geraden des Raumes, die einander nicht schneiden, liegen entweder in einer Ebene und sind parallel zueinander, oder sie liegen nicht in einer Ebene und werden windschief genannt.
Sind g und h windschiefe Geraden, so lässt sich durch jeden Punkt P von g eine Parallele p zu h zeichnen. Der Winkel zwischen den Parallelen und g wird als Winkel zwischen den windschiefen Geraden g und h bezeichnet. Durch Parallelen q zu g durch alle Punkte von h entsteht ein Winkel gleicher Größe.

Zwei windschiefe Geraden sind dann orthogonal (senkrecht) zueinander, wenn der Winkel zwischen ihnen ein rechter Winkel ist. Die beiden oben erzeugten Parallelenebenen sind selbst parallel zueinander, ihr Abstand a ist auch der der windschiefen Geraden g und h. Zwei nicht parallele Ebene haben höchsten eine Gerade gemeinsam. Die Menge aller Ebenen, die durch eine Geraden gehen, bildet ein Ebenenbüschel. Die Gerade heißt Träger des Ebenenbüschels. Durch Drehung um den Träger kann jede Ebene eines Büschels auf jede andere des selben Büschels abgebildet werden. Der Winkel, um den gedreht werden muss, heißt Winkel zwischen den Ebenen.
Zwei Ebenen (eines Büschels) sind orthogonal zueinander (stehen senkrecht aufeinander), wenn der Winkel zwischen den Ebenen ein rechter Winkel ist. Eine Gerade g liegt ganz in einer Ebene, wenn sie mit dieser zwei Punkte gemeinsam hat. Sie schneidet die Ebene, wenn sie genau einen Punkt mit ihr gemeinsam hat. Die Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie auf mindestens zwei verschiedene Geraden der Ebene, die sie schneiden, senkrecht steht.

Geradenbüschel

Geradenbüschel

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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