Räumliches Koordinatensystem

Für das eindeutige Bestimmen der Lage von Punkten im Raum benötigt man drei Koordinaten, für ein räumliches Koordinatensystem folglich eine dritte Achse. In der Regel werden hier Koordinatensysteme verwendet, bei denen die drei Achsen paarweise senkrecht aufeinander stehen.

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem des Raums besteht also aus drei einander im Koordinatenursprung O schneidenden Zahlengeraden, die paarweise senkrecht aufeinander stehen und ein (räumliches) Rechtssystem bilden. Die Zahlengeraden bezeichnet man als x-, y- bzw. z-Achse. Auf jeder Achse ist ein von O verschiedener Koordinateneinheitspunkt festgelegt. Sind die Einheitsstrecken gleich lang, so handelt es sich um ein kartesisches Koordinatensystem im Raum.

Räumliches kartesisches Koordinatensystem

Räumliches kartesisches Koordinatensystem

Für räumliche kartesische Koordinatensysteme verwendet man meist die folgende Darstellungen:
Die y-Achse wird nach rechts, die x-Achse in einem Winkel von 135º zur y-Achse nach vorn und die z-Achse nach oben gezeichnet. Die Längen der Einheitsstrecken auf der x-, der y- bzw. der z-Achse verhalten sich wie 1 2 : 1 : 1 (Bild 1). In Abhängigkeit vom jeweiligen Sachverhalt werden jedoch mitunter auch andere Verkürzungen genutzt.

Zur Überprüfung, ob die Achsen eines x-y-z-Koordinatensystems ein Rechtssystem bilden, wird folgendermaßen vorgegangen: Richtet man den Blick so auf die x-y-Ebene, dass die z-Achse auf einen zu kommt, und bilden dabei die x- und die y-Achse ein (ebenes) Rechtssystem, so bilden die x-, y- und die z-Achse zusammen ein (räumliches) Rechtssystem. Zur Veranschaulichung dieses Zusammenhangs kann man die Finger der rechten Hand benutzen: Zeigt der Mittelfinger in Richtung der x-Achse, so weist der Daumen in Richtung der y- und der Zeigefinder in Richtung der z-Achse (vgl. „Drei-Finger-Regel“ bzw. „Rechte-Hand-Regel“ in der Physik, Bild 2).

Rechte-Hand-Regel

Rechte-Hand-Regel

Mithilfe eines räumlichen Koordinatensystems kann jedem Punkt P des Raums eindeutig ein geordnetes Zahlentripel – die Koordinaten dieses Punktes – zugeordnet werden. Umgekehrt gehört zu jedem Zahlentripel (x; y; z) ein dadurch eindeutig bestimmter Punkt P des Raums, der dann die Koordinaten x, y und z besitzt.

Durch ein räumliches Koordinatensystem wird die Ebene in acht Oktanten geteilt (Bild 3).

Oktanten eines räumliches Koordinatensystem

Oktanten eines räumliches Koordinatensystem

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