Kartesisches Koordinatensystem

Koordinatendarstellung

Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem.

In der Ebene ist jedem Punkt eineindeutig ein Zahlenpaar $\left(x;y\right)$, im Raum eineindeutig ein Zahlentripel $\left(x;y;z\right)$ zugeordnet.
Die Elemente x, y und z des Zahlenpaares $\left(x;y\right)$ bzw. des Zahlentripels $\left(x;y;z\right)$ heißen die Koordinaten des Punktes P. Insbesondere in der Ebene wird die x-Koordinate als Abszisse und die y-Koordinate als Ordinate bezeichnet.

Die Anordnung der Achsen des Koordinatensystems erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn und die Skalierung zählt vom Ursprung ausgehend in positive und negative Richtung.
Die Ebene ${ℝ}^2$ wird durch das Koordinatensystem in vier Quadranten unterteilt, in denen die Koordinaten die in der folgenden Tabelle angegebenen Vorzeichen besitzen.

Der Raum ${ℝ}^3$ wird durch das Koordinatensystem in acht Oktanten unterteilt, in denen die Koordinaten folgende Vorzeichen besitzen:

Darstellung in vektorieller Form

Das Koordinatensystem wird durch einen Ursprung O, der frei gewählt wird, und drei nichtkomplanare Vektoren $\left(\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_2};\overrightarrow{a_3}\right)$ gebildet.
Sind die Vektoren $\overrightarrow{a_i}$ paarweise zueinander orthogonal, dann heißt das Koordinatensystem kartesisch.

Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren $\overrightarrow{e_1}und\overrightarrow{e_2}$ bzw. $\overrightarrow{e_1,}\overrightarrow{e_2}und\overrightarrow{e_3}$.

Anmerkung: Die Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen werden häufig auch mit $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}und\overrightarrow{k}$ bezeichnet.

In der Ebene ist jedem Punkt P eineindeutig der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, im Raum der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$ zugeordnet (wobei mit $\overrightarrow{e_1,}\overrightarrow{e_2}und\overrightarrow{e_3}$ die Einheitsvektoren bezeichnet werden); x und y bzw. x, y und z sind die Koordinaten des Punktes P.

Anmerkung: Die Forderung nach äquidistanter Skalierung kann aus Zweckmäßigkeitsgründen entfallen wie z.B. in der Kristallografie oder bei der Darstellung exponentieller Wachstumsprozesse.