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Kartesisches Koordinatensystem

Unter einem Koordinatensystem versteht man im euklidischen Raum ℝ 3 ein System von drei skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt, den Ursprung O, verlaufen und nicht in einer Ebene liegen (Analoges gilt für die Ebene).
Eine besondere Bedeutung besitzen Koordinatensysteme, bei denen die Achsen jeweils einen rechten Winkel bilden. Diese werden nach dem französischen Mathematiker RENÈ DESCARTES (1596 bis 1650) kartesische Koordinatensysteme genannt.

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Koordinatendarstellung

Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem.

Bild

In der Ebene ist jedem Punkt eineindeutig ein Zahlenpaar ( x ;   y ) , im Raum eineindeutig ein Zahlentripel ( x ;   y ;   z ) zugeordnet.
Die Elemente x, y und z des Zahlenpaares ( x ;   y ) bzw. des Zahlentripels ( x ;   y ;   z ) heißen die Koordinaten des Punktes P. Insbesondere in der Ebene wird die x-Koordinate als Abszisse und die y-Koordinate als Ordinate bezeichnet.

Die Anordnung der Achsen des Koordinatensystems erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn und die Skalierung zählt vom Ursprung ausgehend in positive und negative Richtung.
Die Ebene ℝ 2 wird durch das Koordinatensystem in vier Quadranten unterteilt, in denen die Koordinaten die in der folgenden Tabelle angegebenen Vorzeichen besitzen.

QuadrantIIIIIIIV
x+--+
y++--

Der Raum ℝ 3 wird durch das Koordinatensystem in acht Oktanten unterteilt, in denen die Koordinaten folgende Vorzeichen besitzen:

OktantIIIIIIIVVVIVIIVIII
x+--++--+
y++--++--
z++++----

Darstellung in vektorieller Form

Das Koordinatensystem wird durch einen Ursprung O, der frei gewählt wird, und drei nichtkomplanare Vektoren ( a 1 → ;   a 2 → ;   a 3 → ) gebildet.
Sind die Vektoren a i → paarweise zueinander orthogonal, dann heißt das Koordinatensystem kartesisch.

Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren e 1 →       u n d       e 2 → bzw. e 1 , →       e 2 →       u n d       e 3 → .

Anmerkung: Die Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen werden häufig auch mit i → ,       j →       u n d       k → bezeichnet.

Bild

In der Ebene ist jedem Punkt P eineindeutig der Ortsvektor O P → = p → = x e 1 → + y e 2 → , im Raum der Ortsvektor O P → = p → = x e 1 → + y e 2 → + z e 3 → zugeordnet (wobei mit e 1 , →       e 2 →       u n d       e 3 → die Einheitsvektoren bezeichnet werden); x und y bzw. x, y und z sind die Koordinaten des Punktes P.

Anmerkung: Die Forderung nach äquidistanter Skalierung kann aus Zweckmäßigkeitsgründen entfallen wie z.B. in der Kristallografie oder bei der Darstellung exponentieller Wachstumsprozesse.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Kartesisches Koordinatensystem." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kartesisches-koordinatensystem (Abgerufen: 20. May 2025, 07:24 UTC)

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Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
  x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ   ( ∗ )

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

Zylinderkoordinaten

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche eines Zylinders abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hierzu wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine andere Form, die sogenannten Zylinderkoordinaten.
Das entsprechende Koordinatensystem stellt eine Kombination des Polarkoordinatensystems der Ebene und des kartesischen Systems dar.

Polarkoordinatensystem

Ein Punkt der Ebene kann durch die Angabe von zwei Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem, einem geordneten Zahlenpaar [ x ;   y ] , eindeutig beschrieben werden.

Eine weitere Möglichkeit stellt die folgende Vorgehensweise dar:
Ein Ursprungspunkt O wird beliebig festgelegt. Von diesem ausgehend wird ein Strahl gezeichnet. Nun beschreiben der Abstand r des Punktes P von O und der Drehwinkel ϕ mit 0   ° ≤ ϕ < 360   ° , um den der Strahl aus seiner Ursprungslage bis zum Punkt P werden muss, die Lage des Punktes P eineindeutig.

Pierre de Fermat

* 1607 Beaumont-de-Lomagne
† 12. Januar 1665 Castres

PIERRE DE FERMAT begründete neben RENÉ DESCARTES die analytische Geometrie. Des Weiteren arbeitete er auf dem Gebiet der Zahlentheorie und war an der Ausarbeitung von Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beteiligt. FERMAT führte einen regen wissenschaftlichen Briefwechsel mit Mathematikern seiner Zeit wie DESCARTES und BLAISE PASCAL. Eine besondere Berühmtheit erlangte sein Name im Zusammenhang mit der fermatschen Vermutung, deren Beweis viele Generationen von Mathematikern beschäftigte und erst im Jahre 1994 gelang.

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Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche einer Kugel abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hier wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine Form, die wir auch von der Geografie der Erde mit Längen- und Breitenkreisen kennen.
Hinzu kommt (als dritte Kugelkoordinate) der Abstand des Punktes P vom Ursprung, genannt Radius r.

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