Kugelkoordinaten

Dieses Koordinatensystem stellt eine Erweiterung des Polarkoordinatensystems der Ebene dar und wird auch als räumliches Polarkoordinatensystem oder Kugelkoordinatensystem bezeichnet.

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten

Die drei Koordinaten eines räumlichen Polarkoordinatensystems, sind die folgenden:

  1. der Radius r als Abstand des Punktes P vom Ursprung O mit r 0 ;
  2. der Winkel λ zwischen der positiven x-Achse und der Strecke O P ' ¯ , wobei P ' die Projektion von P in die xy-Ebene (Äquatorebene) darstellt vergleichbar mit den Längengraden der Erdkugel (mit 0 λ < 2 π );
  3. der Winkel ϕ , der zwischen der xy-Ebene (Äquatorebene) und der Strecke O P ¯ gebildet wird (Breitengrade), wobei ϕ Werte von π 2 b i s + π 2 annehmen kann.

Die folgende Tabelle gibt die Umrechnungsmöglichkeiten von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten (und umgekehrt) an:

Kartesische KoordinatenKugelkoordinaten
x = r cos ϕ cos λ y = r cos ϕ sin λ z = r sin ϕ r = x 2 + y 2 + z 2 λ = arc c o s x x 2 + y 2 = a r c sin y x 2 + y 2 λ = arc tan sin λ cos λ = arc tan y x ϕ = a r c tan z x 2 + y 2
  • Beispiel: Es sind die Kugelkoordinaten des (in kartesischen Koordinaten gegebenen) Punktes P ( 5 ; 12 ; 13 ) zu ermitteln.

Durch Anwenden obiger Umrechnungen erhält man:
r = 25 + 144 + 169 18,385 λ = a r c tan 12 5 = a r c tan 2,4 67,38 ϕ = a r c tan 13 25 + 144 = a r c tan 1 = 45

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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