Kreise und Kugeln

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Kreise und Kugeln." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kreise-und-kugeln (Abgerufen: 20. May 2025, 10:28 UTC)

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Elemente der sphärischen Geometrie und sphärischen Trigonometrie

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie ist die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Braucht man eine solche Geometrie und Trigonometrie der Kugeloberfläche überhaupt? Eine einfache Antwort ist: Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.

Das sphärische oder das Kugeldreieck

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Im Weiteren werden Kugeldreiecke definiert und insbesondere eulersche Dreiecke betrachtet. Zur Berechnung sphärischer Dreiecke werden u.a. der sphärische Sinussatz, der Winkelkosinussatz und der Seitenkosinussatz verwendet.

Kugel und Gerade

Für die Lage einer Kugel bezüglich einer Geraden gibt es die folgenden Möglichkeiten:

Kugel und Gerade haben keinen Punkt gemeinsam (Fall 1);
Kugel und Gerade haben genau einen Punkt gemeinsam (Fall 2);
Kugel und Gerade haben genau zwei Punkte gemeinsam (Fall 3)

Im Fall 1 nennt man die Gerade eine Passante, im Fall 2 eine Tangente und im Fall 3 eine Sekante.

Lagebeziehungen zweier Kugeln

Zwei Kugeln im Raum können – abgesehen von dem Fall, dass beide Kugeln identisch sind – verschiedene Positionen zueinander einnehmen.

Kugel und Tangentialebene

In jedem Punkt $P_{0}$ einer Kugel gibt es unendlich viele Tangenten, die alle senkrecht zum Radius der Kugel sind. Diese Tangenten bilden die Tangentialebene an die Kugel im Punkt $P_{0}$ .

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