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Kugel und Tangentialkegel

Durch einen beliebigen Punkt P außerhalb einer Kugel k lassen sich unendlich viele Geraden so legen, dass jede von ihnen eine Tangente der Kugel k ist.
Diese Geraden – also die Tangenten – bilden einen (doppelten) Kreiskegel, den Tangentialkegel der Kugel k mit der Spitze P.
Die Berührungspunkte aller Tangenten, die einen Tangentialkegel bilden, liegen auf einem Kreis, also in einer Ebene.

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  • Tangentialkegel der Kugel

Die Gleichung dieser Ebene lässt sich wie folgt ermitteln
(siehe dazu die folgende Abbildung):
  ( p 0 → − p → ) ⋅ ( p 0 → − m → ) = 0   [ ( p 0 → − m → ) − ( p → − m → ) ] ⋅ ( p 0 → − m → ) = 0   ( p 0 → − m → ) ⋅ ( p 0 → − m → ) − ( p → − m → ) ⋅ ( p 0 → − m → ) = 0   ( p → − m → ) ⋅ ( p 0 → − m → ) = r 2

Bild

Alle Berührungspunkte P 0 müssen demzufolge die Gleichung ( p → − m → ) ⋅ ( p 0 → − m → ) = r 2 erfüllen, wobei m → der Ortsvektor des Mittelpunktes der Kugel k, p → der Ortsvektor der Spitze des Tangentialkegels P und p 0 → der Ortsvektor des Berührungspunktes P 0 ist.

Der Schnittkreis dieser Ebene mit der Kugel ist der Kreis, auf dem alle Berührungspunkte des Tangentialkegels mit der Spitze P an die Kugel k liegen.

Die Koordinaten des Mittelpunktes M ' und des Radius r ' dieses Berührungskreises ermittelt man also wie die des Schnittkreises einer Ebene mit einer Kugel.

  • Beispiel: Es ist der Berührungskreis des Tangentialkegels mit der Spitze P ( 2 ;   − 7 ;   3 ) an die Kugel k mit M ( 5 ;   − 4 ;   1 ) und r = 4 zu ermitteln.

Die Ebene der Berührungspunkte ist durch die folgenden Gleichungen gegeben:
  [ x → − ( 5 −   4 1 ) ] ⋅ [ ( 2 −   7 3 ) − ( 5 −   4 1 ) ] = 16     b z w .     − 3 x − 3 y + 2 z = 15
Die durch M in Richtung
n ε → = ( − 3 − 3 2 )
verlaufende Gerade hat dann die Punktrichtungsgleichung
x → = ( 5 −   4 1 ) + t ⋅ ( −   3 −   3 2 ) .
Ermitteln des Mittelpunktes des Schnittkreises
  − 3 ⋅ ( 5 − 3 t ) − 3 ⋅ ( − 4 − 3 t ) + 2 ⋅ ( 1 + 2 t ) = 15 22 t = 16 t = 8 11
Daraus ergibt sich der Mittelpunkt M ' ( 31 11 ;   − 68 11 ;   27 11 ) .
Ermitteln des Abstandes d des Mittelpunktes M von der Ebene
  d = |   [ ( 5 − 4 1 ) − ( − 5 0 0 ) ] ⋅ ( − 3 − 3 2 ) ⋅ 1 22   | = 16 22
Als Radius des Berührungskreises ergibt sich dann:
  r ' = r 2 − d 2 = 16 − 256 22 = 48 11 ≈ 2,1

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Kugel und Tangentialkegel." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kugel-und-tangentialkegel (Abgerufen: 20. May 2025, 04:05 UTC)

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  2. Kugel und Gerade haben genau einen Punkt gemeinsam (Fall 2);
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