Kugel und Tangentialkegel

Tangentialkegel der Kugel

Tangentialkegel der Kugel

Die Gleichung dieser Ebene lässt sich wie folgt ermitteln
(siehe dazu die folgende Abbildung):
( p 0 p ) ( p 0 m ) = 0 [ ( p 0 m ) ( p m ) ] ( p 0 m ) = 0 ( p 0 m ) ( p 0 m ) ( p m ) ( p 0 m ) = 0 ( p m ) ( p 0 m ) = r 2

Bild

Alle Berührungspunkte P 0 müssen demzufolge die Gleichung ( p m ) ( p 0 m ) = r 2 erfüllen, wobei m der Ortsvektor des Mittelpunktes der Kugel k, p der Ortsvektor der Spitze des Tangentialkegels P und p 0 der Ortsvektor des Berührungspunktes P 0 ist.

Der Schnittkreis dieser Ebene mit der Kugel ist der Kreis, auf dem alle Berührungspunkte des Tangentialkegels mit der Spitze P an die Kugel k liegen.

Die Koordinaten des Mittelpunktes M ' und des Radius r ' dieses Berührungskreises ermittelt man also wie die des Schnittkreises einer Ebene mit einer Kugel.

  • Beispiel: Es ist der Berührungskreis des Tangentialkegels mit der Spitze P ( 2 ; 7 ; 3 ) an die Kugel k mit M ( 5 ; 4 ; 1 ) und r = 4 zu ermitteln.

Die Ebene der Berührungspunkte ist durch die folgenden Gleichungen gegeben:
[ x ( 5 4 1 ) ] [ ( 2 7 3 ) ( 5 4 1 ) ] = 16 b z w . 3 x 3 y + 2 z = 15
Die durch M in Richtung
n ε = ( 3 3 2 )
verlaufende Gerade hat dann die Punktrichtungsgleichung
x = ( 5 4 1 ) + t ( 3 3 2 ) .
Ermitteln des Mittelpunktes des Schnittkreises
3 ( 5 3 t ) 3 ( 4 3 t ) + 2 ( 1 + 2 t ) = 15 22 t = 16 t = 8 11
Daraus ergibt sich der Mittelpunkt M ' ( 31 11 ; 68 11 ; 27 11 ) .
Ermitteln des Abstandes d des Mittelpunktes M von der Ebene
d = | [ ( 5 4 1 ) ( 5 0 0 ) ] ( 3 3 2 ) 1 22 | = 16 22
Als Radius des Berührungskreises ergibt sich dann:
r ' = r 2 d 2 = 16 256 22 = 48 11 2,1

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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