Kugel und Tangentialkegel

Tangentialkegel der Kugel

Die Gleichung dieser Ebene lässt sich wie folgt ermitteln
(siehe dazu die folgende Abbildung):
(p0p)(p0m)=0[(p0m)(pm)](p0m)=0(p0m)(p0m)(pm)(p0m)=0(pm)(p0m)=r2

Bild

Alle Berührungspunkte P0 müssen demzufolge die Gleichung (pm)(p0m)=r2 erfüllen, wobei m der Ortsvektor des Mittelpunktes der Kugel k, p der Ortsvektor der Spitze des Tangentialkegels P und p0 der Ortsvektor des Berührungspunktes P0 ist.

Der Schnittkreis dieser Ebene mit der Kugel ist der Kreis, auf dem alle Berührungspunkte des Tangentialkegels mit der Spitze P an die Kugel k liegen.

Die Koordinaten des Mittelpunktes M' und des Radius r' dieses Berührungskreises ermittelt man also wie die des Schnittkreises einer Ebene mit einer Kugel.

  • Beispiel: Es ist der Berührungskreis des Tangentialkegels mit der Spitze P(2;7;3) an die Kugel k mit M(5;4;1) und r=4 zu ermitteln.

Die Ebene der Berührungspunkte ist durch die folgenden Gleichungen gegeben:
[x(541)][(273)(541)]=16bzw.3x3y+2z=15
Die durch M in Richtung
nε=(332)
verlaufende Gerade hat dann die Punktrichtungsgleichung
x=(541)+t(332).
Ermitteln des Mittelpunktes des Schnittkreises
3(53t)3(43t)+2(1+2t)=1522t=16t=811
Daraus ergibt sich der Mittelpunkt M'(3111;6811;2711).
Ermitteln des Abstandes d des Mittelpunktes M von der Ebene
d=|[(541)(500)](332)122|=1622
Als Radius des Berührungskreises ergibt sich dann:
r'=r2d2=1625622=48112,1

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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