Das sphärische oder das Kugeldreieck

Drei Punkte A, B und C einer Kugel, die nicht auf ein und derselben Kugelgeraden liegen, bestimmen drei Kugelgeraden. Auf diesen liegen die sphärischen Strecken bzw. Abstände a=BC,b=AC,c=AB. Diese Strecken sind höchstens gleich 180oderπ. Sie bilden ein sphärisches oder Kugeldreieck.

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Man kann ein leicht zu überschauendes Beispiel dafür angeben, dass die Summe der Innenwinkelgrößen eines Kugeldreiecks größer als 180 ist:

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Ist a=BC,b=AC,c=AB eine Strecke auf dem Äquator und sind PAundPB, wo P für einen Erdpol steht, Strecken auf Meridianen, so ist schon die Summe der Winkel PABundPBAgleich180. Für jedes echte Dreieck ist die Winkelsumme also größer als 180. Man sieht am Beispiel auch, dass sie kleiner als 180+360 sein muss.

Im Weiteren werden nur solche Kugeldreiecke betrachtet, deren Flächeninhalt kleiner als der einer Halbkugel ist und deren Seiten und Winkel alle jeweils kleiner als 180oderπ sind. Sie heißen eulersche Dreiecke.

Bezeichnungen:
Wie in der klassischen Geometrie heißen die Seiten des Kugeldreiecks AB, BC, CA bzw. c, a, b. Deren Längen werden mithilfe der zughörigen Zentriewinkel ausgedrückt.
So ist die Länge der Seite a gleich dem im Grad- oder Bogenmaß gemessenen Winkel BMC, wo M für den Mittelpunkt der Kugel steht, also a=BMC.
Analog ist b=BMA und c=CMA.
Die Winkel α,β,γ werden von den Tangenten an die Kugelgeraden in den Punkten A, B und C bzw. den Neigungswinkeln der zugehörigen Ebenen gebildet.
Die Kugelgeraden oder Großkreise sind von ihren Polen aus gesehen im Gegenuhrzeigersinn orientiert, die Winkel sind entsprechend durch Drehung des einen Schenkels auf den anderen bestimmt.

Zu den Ecken A, B, C gehören die Gegenecken A¯,B¯,C¯, zu Dreieck ABC das Gegendreieck A¯B¯C¯.

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Zum Dreieck ABC gehören die Nebendreiecke A¯BC,AB¯CundABC¯, die es zu je einem Kugelzweieck ergänzen.
Die Nebendreiecke A¯BC,AB¯CundABC¯ des Gegendreiecks heißen Scheiteldreiecke.

Um den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks zu berechnen, werden aus dem Dreieck und geeigneten Gegen- und Nebendreiecken Zweiecke gebildet, deren Flächeninhalte bestimmt werden können.
Das Dreieck ABC bildet zusammen mit dem Nebendreieck A¯BC ein Zweieck mit dem Flächeninhalt f=α90πr2.
Ebenso bilden die Dreieck ABC und AB¯C sowie ABC und ABC¯ Zweiecke mit dem Öffnungswinkel βundγ, sodass man schreiben kann:
ΔABC+ΔA¯BC=α90πr2,
ΔABC+ΔAB¯C=β90πr2,
ΔABC+ΔABC¯=γ90πr2.

Addiert man die linken und die rechten Seiten und ersetzt dabei das Dreieck ABC¯ durch das Dreieck A¯B¯C, das mit ABC¯ in allen Seitenlängen und Winkelgrößen übereinstimmt, symmetrisch zu ABC¯ ist und den gleichen Flächeninhalt hat, so erhält man:
2ΔABC+(ΔABC+ΔA¯BC+ΔAB¯C+ΔABC¯)=(α+β+γ)πr290

In der Klammer steht nun die Fläche einer Halbkugel, also 2πr2.
Nach einigen Umformungen erhält man:
ΔABC=πr2180(α+β+γ+180)

Die Summe (α+β+γ+180) heißt sphärischer Exzess. Das ist der Überschuss der Innenwinkelsumme des sphärischen Dreiecks über 180. Man bezeichnet diese Summe mit ε, so dass man für den Flächeninhalt f eines sphärischen Dreiecks kürzer schreiben kann:
f=πr2180ε

Um Möglichkeiten der Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen von sphärischen Dreiecken zu finden, kann man wie in der ebenen Trigonometrie vorgehen. Man betrachtet zunächst ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck, um die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln dieses Dreiecks zu bestimmen und wendet sodann die gefundenen Relationen auf ein schiefwinkliges Dreieck an.

Als Hilfsfigur verwendet man ein sogenanntes Dreikant.
Verbindet man die Ecken eines sphärischen Dreiecks ABC mit dem Mittelpunkt M der Kugel, so bilden die Verbindungsgeraden ein Dreikant. Den Seiten des Dreiecks entsprechen die Kantenwinkel des Dreikants. Sie heißen darum auch Seiten des Dreikants. Den Winkeln des Dreiecks entsprechen die Winkel zwischen den Ebenen, welche das Dreikant bilden. Sie heißen darum auch Winkel des Dreikants.

Das rechtwinklige sphärische Dreieck

Ist das sphärische Dreieck ABC ein bei C rechtwinkliges sphärisches Dreieck, erhält man aus nebenstehender Figur:

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sinα=DF¯EF¯=MF¯sinaMF¯sinc=sinasinc,alsosinα=sinasinc,cosα=ED¯EF¯=ME¯tanbME¯tanc=tanbtanc,alsocosα=tanbtanc,tanα=DF¯DE=MD¯tanaMDsinb=tanasinb,alsotanα=tanasinb
AnalogerhältmanfürWinkelβ:sinβ=sinbsinc,cosβ=tanatanc,tanβ=tanbsina

Sind also von einem rechtwinkligen sphärischen Dreieck jeweils zwei der in den vorstehenden Gleichungen enthaltenen Stücke bekannt, können die anderen Stücke berechnet werden.

  • Beispiel: Bekannt sind a=50,b=70,α=80.
    Aus tanβ=tanbsinafolgtβ=74,42.
    Aus sin(180°γ)=sinγ, also sinc=sinasinα,folgtc=51,07.
    Das Dreieck hat den sphärischen Exzess ε=64,42.
    Sein Flächeninhalt beträgt f=64,42180πr2.

Das schiefwinklige sphärische Dreieck

Ein schiefwinkliges sphärisches Dreieck wird berechnet, indem man durch eine Höhe zwei rechtwinklige Dreiecke erzeugt und diese Höhe mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke durch geeignete Winkelfunktionen ausdrückt.

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Das Dreieck ABC wird durch die Höhe ha in die rechtwinkligen Dreiecke ADC und ADB zerlegt. Dann gilt:
sinha=sinbsinγundsinha=sincsinβ,alsosinbsinγ=sincsinβunddamitsinc:sinγ=sinb:sinβ

Analog erhält man mithilfe von hbsina:sinα=sinc:sinγ.

Beide Proportionen fasst man zur fortlaufenden Proportion
sina:sinα=sinb:sinβ=sinc:sinγodersina:sinb:sinc=sinα:sinβ:sinγ
zusammen.

Das Ergebnis ist der sphärische Sinussatz:

  • Satz (Sphärischer Sinussatz): Im Kugeldreieck verhalten sich die Sinus zweier Seiten wie die Sinus der Gegenwinkel.

Der Fall, dass die Höhe ha außerhalb des Dreiecks ABC liegt, führt wegen sin(180°γ)=sinγ auf das gleiche Resultat.

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Sind also von einem sphärischen Dreieck zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser Seiten oder zwei Winkel und die Gegenseite eines der Winkel gegeben, so kann der andere Winkel bzw. die andere Gegenseite berechnet werden.

  • Beispiel 1: Gegeben sind a=70,b=62,α=80.
    Aus dem Sinussatz folgt:
    sinβ=sinbsinαsina=0,9253383 und hieraus β=67,72undβ=112,28.
    Wegen a>b muss α>β sein, also ist nur 67,72 Lösung der Aufgabe.
    Es gibt nur ein Dreieck mit diesen Seiten und Winkeln.
     
  • Beispiel 2: Gegeben sind a=30,b=60,α=20.
    sin(180γ)=sinγ
    Mit sinβ=sinbsinαsina erhält man sinβ=sin60sin20sin30=0,5923962 und hieraus β=36,33und143,67.
    Da β>α sein muss, sind beide Werte Lösungen der Aufgabe.
    Es gibt zwei Dreiecke mit diesen Seiten und Winkeln.
     
  • Beispiel 3: Gegeben sind a=30,b=60,α=160.
    Man erhält sinβ=sin60sin120sin30=1,5, d.h. es gibt kein eulersches Dreieck mit den gegebenen Maßen.

Aus der nebenstehenden Figur erhält man den Seitenkosinussatz.

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Es gilt:
cosb=coshacospcosc=coshacos(ap)=cosha(cosacosp+sinasinp)cosccosb=cosacosp+sinasinpcosp=cosa+sinatanp

Wegen cosγ=tanptanb ist also tanp=tanbcosγ=sinbcosbcosγ.

Damit geht der Quotient cosc:cosb über in cosccosb=cosa+sina+sinbcosbcosγ.

Hieraus erhält man cosc=cosacosb+sinasinbcosγ.
Durch zyklische Vertauschung erhält man die restlichen Formeln des Seitenkosinussatzes:
cosa=cosbcosc+sinbsinccosαcosb=cosccosa+sincsinacosβ

  • Satz (Seitenkosinussatz): Im sphärischen Dreieck ist der Kosinus einer Seite gleich der Summe der Kosinusprodukte der beiden anderen Seiten und dem mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels multiplizierten Sinusprodukt dieser Seiten.

Der Seitenkosinussatz ermöglicht also die Berechnung der Länge einer Seite, wenn die Längen der beiden anderen Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind. Stellt man die Formeln nach dem in ihnen vorkommenden Winkelkosinus um, so erkennt man, dass sie zur Berechnung der Größe eines Winkels geeignet sind, wenn man die Längen aller Seiten kennt.

Geht man zum Polardreieck des Dreiecks ABC über, indem man a, b, c, C durch A, B, C und c ersetzt, erhält man den Winkelkosinussatz:
cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosc,cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosa,cosβ=cosγcosα+sinγsinαcosb

  • Satz (Winkelkosinussatz): Im sphärischen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels gleich der Summe aus dem negativen Produkt der Kosinus der beiden anderen Winkel und dem mit dem Kosinus der gegenüberliegenden Seite multiplizierten Sinusprodukt der beiden anderen Winkel.

Der Winkelkosinussatz ermöglicht also die Berechnung der Größe eines Winkels, wenn die beiden anderen Winkel und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite bekannt sind. Er ermöglicht auch die Berechnung der Länge einer Seite, wenn alle Winkel des sphärischen Dreiecks gegeben sind.

  • Beispiel 4: Gegeben sind: a=63,5,b=78,4,c=40,3.
    Bild
    Stellt man den Seitenkosinussatz nach cosγ um, erhält man:
    cosγ=cosccosacosbsinasinb,alsoγ=39,86
    Aus cosα=cosacosbcoscsinbsincfolgtα=62,47
    und aus cosβ=cosbcosccosasincsinafolgtβ=103,92.
    Anmerkung: Man kann zur Berechnung von α und β auch den Sinussatz heranziehen. Man erhält jeweils zwei mögliche Winkelwerte, die man daraufhin überprüfen muss, ob sie für eulersche Dreiecke möglich sind. So erhält man z.B. mithilfe des Sinussatzes für β auch 76,09. Aber die Summe der Winkelgrößen des Dreiecks ist für diesen Wert von β kleiner als 180. Ein solches Dreieck gibt es nicht. Der Seitenkosinussatz ist zwar rechnerisch aufwendiger, da die Kosinuswerte für Winkel kleiner 90 positiv, für Winkel größer als 90 und kleiner als 180 aber negativ sind, liefert er jedoch immer eindeutige Lösungen.
     
  • Beispiel 5: Gegeben sind a=112,5,b=63,6,γ=72,4.
    Bild
    Aus dem Seitenkosinussatz wird c berechnet:
    cosc=cosacosb+sinasinbcosγ,alsocosc=cos112,5cos63,6+sin112,5sin63,6cos72,4c=85,41
    Nun sind a, b und c bekannt, also können α und β mithilfe der entsprechenden Formeln des Kosinussatzes berechnet werden.
    cosα=cosacosbcoscsinbsinc
    cosα=cos112,5cos63,6cos85,41sin63,6sin85,41α=117,94
    cosβ=cosbcosccosasincsina
    cosβ=cos63,6cos85,41cos112,5sin85,41sin112,5β=58,93
    Berechnet man α mithilfe des Sinussatzes, erhält man die Winkelwerte α=62,06undα=18062,06=117,94.
    Wegen a>b muss auch α>β sein, also kommt der Wert 62,06 nicht infrage.
    Analoges gilt für die Berechnung des Winkels β.

Zur Lösung der folgenden beiden Aufgaben werden nur die Winkelkosinussätze verwendet.

  • Beispiel 6: Gegeben sind α=49,5,β=67,3,γ=93,4, gesucht sind a, b, c.
    Lösung:
    cosc=cosγ+cosαcosβsinαsinβcosc=cos93,4+cos49,5cos67,3sin49,5sin67,3c=74,17
    cosa=cosα+cosβcosγsinβsinγcosa=cos49,5+cos67,3cos93,4sin67,3sin93,4a=45,86
    cosb=cosβ+cosγcosαsinγsinαcosb=cos67,3+cos93,4cos49,5sin93,4sin49,5b=62,76
     
  • Beispiel 7: Gegeben sind α=84,4,β=63,3,c=69,4,
    gesucht sind a, b, γ.
    Lösung:
    Bild
    cosa=cosα+cosβcosγsinβsinγcosa=cos84,4+cos63,3cos74,4sin63,3sin74,4a=75,30
    cosb=cosβ+cosγcosαsinγsinαcosb=cos63,3+cos74,4cos84,4sin74,4sin84,4b=60,26
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