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Zylinderkoordinaten

Für geometrische Probleme, die sich auf der Oberfläche eines Zylinders abspielen, erweist es sich als unzweckmäßig, mit kartesischen Koordinaten zu arbeiten. Hierzu wählt man statt der rechtwinkligen Koordinaten für den Punkt P ( x ;   y ;   z ) eine andere Form, die sogenannten Zylinderkoordinaten.
Das entsprechende Koordinatensystem stellt eine Kombination des Polarkoordinatensystems der Ebene und des kartesischen Systems dar.

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  • Zylinderkoordinaten

Die drei Zylinderkoordinaten eines Punktes P sind die folgenden:

  1. der Radius r (mit r ≥ 0 ) als Abstand des Punktes P ' vom Ursprung O, wobei P ' die Projektion von P auf die xy-Ebene (Äquatorebene) ist;
  2. der vorzeichenbehaftete Abstand z des Punktes P von der xy-Ebene (Äquatorebene);
  3. der Winkel ϕ , der zwischen der x-Achse und der Strecke O P ' ¯ in der xy-Ebene gebildet wird (wobei ϕ im Intervall 0 ≤ ϕ < 2 π liegt)

Die folgende Tabelle gibt die Umrechnungsmöglichkeiten von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten (und umgekehrt) an:

Kartesische KoordinatenZylinderkoordinaten
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z r = x 2 + y 2 ϕ = a r c   cos x x 2 + y 2 = a r c   cos x r   o d e r ϕ = a r c   sin y x 2 + y 2 = a r c   sin y r z = z
  • Beispiel 1: Gegeben sei der Punkt P ( 3 ;   4 ;   5 ) .
    Es sind die Zylinderkoordinaten von P zu ermitteln.

Aus x = 3,       y = 4       u n d       z = 5 ergibt sich nach Anwenden obiger Formeln:
r = 9 + 16 = 5   ϕ = a r c   cos 3 5 = a r c   sin 4 5 ≈ 53,13   ° z = z

  • Beispiel 2: Gegeben sei der Punkt P mit r = 2,       ϕ = 55   °       u n d       z = 4 .
    Es sind die kartesischen Koordinaten von P zu ermitteln.

Unter Anwendung obiger Formeln erhält man:
  x = 2 ⋅ cos 55   ° ≈ 1,147 y = 2 ⋅ sin 55   ° ≈ 1,638 z = 4

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Zylinderkoordinaten." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/zylinderkoordinaten (Abgerufen: 20. May 2025, 08:00 UTC)

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  • kartesisches Koordinatensystem
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  x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ   ( ∗ )

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Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.
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Das sphärische oder das Kugeldreieck

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Im Weiteren werden Kugeldreiecke definiert und insbesondere eulersche Dreiecke betrachtet. Zur Berechnung sphärischer Dreiecke werden u.a. der sphärische Sinussatz, der Winkelkosinussatz und der Seitenkosinussatz verwendet.

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