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Ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
$\begin{array}{l}\text{I}{\text{a}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{b}}_{\text{1}}\text{y}={\text{c}}_{\text{1}}{\text{a}}_{\text{1}}{\text{,b}}_{\text{1}}{\text{,c}}_{\text{1}}\in \mathbb{Q}\\ \text{II}{\text{a}}_{\text{2}}\text{x}+{\text{b}}_{\text{2}}\text{y}={\text{c}}_{\text{2}}{\text{a}}_{\text{2}}{\text{,b}}_{\text{2}}{\text{,c}}_{\text{2}}\in \mathbb{Q}\end{array}$
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare, die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Lineare Gleichungen mit zwei gesuchten (freien) Variablen haben im Bereich der reellen Zahlen $ℝ$ unendlich viele Lösungen. Dies sind Zahlenpaare, die diese Gleichungen erfüllen.
Für a, b, c, x, y $\in$ $ℝ$ gibt es unendliche viele Paare (x; y), für welche die Gleichung ax + by + c = 0 zu einer wahren Aussage wird.
Wird in der linearen Gleichung ax + by = c der Variablengrundbereich für a, b, c, x und y auf die Menge der ganzen Zahlen eingeschränkt, so spricht man von diophantischen Gleichungen.