Diophantische Gleichungen

Lineare Gleichungen mit zwei gesuchten (freien) Variablen haben im Bereich der reellen Zahlen $ℝ$ unendliche viele Lösungen. Dies sind Zahlenpaare, die diese Gleichungen erfüllen.
Für a, b, c, x, y $\in$ $ℝ$ gibt es unendliche viele Paare (x; y), für die die Gleichung ax +by + c = 0 zu einer wahren Aussage wird.

Anders sieht es aus, wenn der Variablengrundbereich für x und y eingeschränkt wird.

Beispiel:
Die Gleichung 5x +3y + 2 = 0 hat weder im Bereich der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ noch im Bereich der gebrochenen Zahlen $\mathbb{Q}$+ eine Lösung.

Wird in der linearen Gleichung ax + by = c der Variablengrundbereich für a, b, c, x und y auf die Menge der ganzen Zahlen eingeschränkt, so spricht man von diophantischen Gleichungen.

Diese Form der Gleichungen wurde nach dem griechischen Mathematiker DIOPHNTOS VON ALEXANDRIA (um 250), der sich ausführlich mit dem Lösen derartiger Gleichungen beschäftigte, benannt (wobei er allerdings für x und y auch Werte aus $ℝ$ zuließ).

Analog kann man auch diophantische Ungleichungen oder diophantische Gleichungen mit mehr als zwei Variablen oder von höherem Grad definieren.

Zum Lösen diophantischer Gleichungen lassen sich Zahlenkongruenzen nutzen. Das Vorgehen wird im Folgenden an einem Beispiel dargestellt.

Beispiel:
Zu lösen ist die diophantische Gleichung 3x + 2y = 5.

Von 3x + 2y = 5 wird übergegangen zu 3x + 2y $\equiv$5 (mod 3). Damit man erhält 2y $\equiv$2 (mod 3), woraus als einzige Lösung folgt:
y $\equiv$1 (mod 3)

Das heißt: Zur Lösungsmenge der Gleichung 3x + 2y = 5 gehören alle y, mit y = 3g + 1 (g $\in$ $\mathbb{Z}$).

Aus 3x + 5y = 5 erhält man dann:
3x + 2(3g + 1) = 5
3x + 6g + 2 = 5
3x + 6g = 3
x = 1 – 2g

Die Lösungsmenge ist also die Menge aller Zahlenpaare (x; y) mit
x = 1 – 2g und y = 3g + 1, d. h.:
L = {...(5; –5), (3; –2), (1; 1), (–1; 4), (–3; 7), ...}