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Diophantische Gleichungen

Lineare Gleichungen mit zwei gesuchten (freien) Variablen haben im Bereich der reellen Zahlen ℝ unendlich viele Lösungen. Dies sind Zahlenpaare, die diese Gleichungen erfüllen.
Für a, b, c, x, y ∈ ℝ gibt es unendliche viele Paare (x; y), für welche die Gleichung ax + by + c = 0 zu einer wahren Aussage wird.
Wird in der linearen Gleichung ax + by = c der Variablengrundbereich für a, b, c, x und y auf die Menge der ganzen Zahlen eingeschränkt, so spricht man von diophantischen Gleichungen.

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Lineare Gleichungen mit zwei gesuchten (freien) Variablen haben im Bereich der reellen Zahlen ℝ unendliche viele Lösungen. Dies sind Zahlenpaare, die diese Gleichungen erfüllen.
Für a, b, c, x, y ∈ ℝ gibt es unendliche viele Paare (x; y), für die die Gleichung ax +by + c = 0 zu einer wahren Aussage wird.

Anders sieht es aus, wenn der Variablengrundbereich für x und y eingeschränkt wird.

Beispiel:
Die Gleichung 5x +3y + 2 = 0 hat weder im Bereich der natürlichen Zahlen ℕ noch im Bereich der gebrochenen Zahlen ℚ + eine Lösung.

Wird in der linearen Gleichung ax + by = c der Variablengrundbereich für a, b, c, x und y auf die Menge der ganzen Zahlen eingeschränkt, so spricht man von diophantischen Gleichungen.

Diese Form der Gleichungen wurde nach dem griechischen Mathematiker DIOPHNTOS VON ALEXANDRIA (um 250), der sich ausführlich mit dem Lösen derartiger Gleichungen beschäftigte, benannt (wobei er allerdings für x und y auch Werte aus ℝ zuließ).

Analog kann man auch diophantische Ungleichungen oder diophantische Gleichungen mit mehr als zwei Variablen oder von höherem Grad definieren.

Zum Lösen diophantischer Gleichungen lassen sich Zahlenkongruenzen nutzen. Das Vorgehen wird im Folgenden an einem Beispiel dargestellt.

Beispiel:
Zu lösen ist die diophantische Gleichung 3x + 2y = 5.

Von 3x + 2y = 5 wird übergegangen zu 3x + 2y ≡ 5 (mod 3). Damit man erhält 2y ≡ 2 (mod 3), woraus als einzige Lösung folgt:
y ≡ 1 (mod 3)

Das heißt: Zur Lösungsmenge der Gleichung 3x + 2y = 5 gehören alle y, mit y = 3g + 1 (g ∈ ℤ ).

Aus 3x + 5y = 5 erhält man dann:
3x + 2(3g + 1) = 5
3x + 6g + 2 = 5
3x + 6g = 3
x = 1 – 2g

Die Lösungsmenge ist also die Menge aller Zahlenpaare (x; y) mit
x = 1 – 2g und y = 3g + 1, d. h.:
L = {...(5; –5), (3; –2), (1; 1), (–1; 4), (–3; 7), ...}

  • Bezeichnungen bei Diophant

Man kann die Lösungen der Gleichung 3x + 2y = 5 grafisch darstellen, indem man zur Funktionsgleichung y = − 3 2 x + 5 2 übergeht und deren Bild zeichnet. Die Lösungen sind dann alle Punkte des Graphen mit ganzzahligen Koordinaten (Bild 2).

Die Lösungsmenge dieser diophantischen Gleichung ist unendlich.

Für diophantische Gleichungen gilt:

Die Lösungsmenge einer diophantischen Gleichung
ax + by = c
ist entweder unendlich oder leer, d. h., es gibt entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Die Lösungsmenge ist genau dann nicht leer, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und b ein Teiler von c ist.
Wenn a und b teilerfremd sind, ist ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 und damit natürlich Teiler von c, es gibt in diesem Fall also unendlich viele Lösungen.

Wenn bei diophantischen Gleichungen der Variablengrundbereich weiter eingeschränkt wird (z. B. auf die Menge der natürlichen Zahlen) oder andere einschränkende Bedingungen gesetzt werden, kann die Lösungsmenge endlich sein.

Dies ist oftmals bei entsprechenden Anwendungsaufgaben der Fall.

Beispiel:
Der Betrag von 34 € soll aus Münzen zu 2 € und Scheinen zu 5 € zusammengesetzt werden. Welche Möglichkeiten gibt es?
Lösungsweg:
Es sei x die Anzahl der 2-Euro-Münzen und y die Anzahl der 5-Euro-Scheine.
   Dann gilt:
   2x + 5 y = 34 (ggT(2; 5) = 1, also existieren Lösungen)
   2x + 5 y ≡ 34 (mod 5)
   2x ≡ 34 (mod 5)
   2x ≡ 4 (mod 5)
     x ≡ 2 (mod 5)
Also gilt für x = 2; 7; 12; 17 und für y = 6; 4; 2; 0.

Ergebnis: Nur die drei Zahlenpaare (2; 6), (7; 4) und (12; 2) erfüllen die Bedingungen der Aufgabe, die Lösungsmenge ist also endlich.

  • Grafische Lösung der diophantischen Gleichung
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Diophantische Gleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/diophantische-gleichungen (Abgerufen: 19. May 2025, 20:36 UTC)

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Diophantische Gleichungen

Eine Gleichung der Form a x + b y = c mit ganzzahligen Koeffizienten a, b und c, für die ganze Zahlen x und y als Lösungen gesucht sind, heißt eine (lineare) diophantische Gleichung in zwei Unbekannten.
Diophantische Gleichungen können gelöst werden durch systematisches Probieren, mit der Methode der korrespondieren Kongruenzen, mittels formaler Bruchschreibweise sowie mithilfe des euklidischen Algorithmus.

Pythagoreische Zahlentripel

Drei Zahlen a, b und c, für die a 2 + b 2 = c 2 gilt, bilden ein sogenanntes pythagoreisches Zahlentripel.

Pythagoreische Zahlentripel sind zum Beispiel:

  • 3, 4 und 5, denn 9 + 16 = 25
  • 5, 12 und 13, denn 25 + 144 = 169
  • 8, 15 und 17, denn 64 + 225 = 289
  • 9, 40 und 41, denn 81 + 1600 = 1681

Gleichungen, Wissenswertes und Historisches

Der Begriff Gleichung geht auf LEONARDO FIBONACCI (etwa 1180 bis etwa 1250) zurück, der ihn in italienischer Sprache als equatio benutzte.
Die Gleichheit zweier Terme wurde lange Zeit verbal ausgedrückt, z. B. durch das lateinische Wort aequatur (gleicht).
Im Zusammenhang mit der Benutzung von Variablen wurde ein Zeichen für die Gleichheit zwingend erforderlich.
Das heutige Gleichheitszeichen „=“ stammt von dem englischen Mathematiker ROBERT RECORDE (1510 bis 1558).

Pierre de Fermat

PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665), französischer Mathematiker
* 20. August 1601 Beaumont
† 12. Januar 1665 Castres

PIERRE DE FERMAT begründete neben RENÉ DESCARTES die analytische Geometrie. Des Weiteren arbeitete er auf den Gebieten der Zahlentheorie und war an der Ausarbeitung von Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beteiligt. FERMAT führte einen regen wissenschaftlichen Briefwechsel mit Mathematikern seiner Zeit wie RENÉ DESCARTES und BLAISE PASCAL. Eine besondere Berühmtheit erlangte sein Name im Zusammenhang mit dem sogenannten (großen) Satz von Fermat, dessen Beweis viele Generationen von Mathematikern beschäftigte und erst im Jahre 1994 durch einen britischen Wissenschaftler gelang.

Ganze Zahlen, Historisches

Negative Zahlen galten lange Zeiten als suspekt. DIOPHANT VON ALEXANDRIA (um 250) beschäftigte sich mit zahlentheoretischen Fragen und dem Lösen von Gleichungen. Er wusste, dass es auch negative Lösungen gab, ließ diese aber nicht gelten. Im indischen Kulturkreis wurden negative Zahlen z. B. zum Beschreiben von Schulden angewandt. In Europa führten erst Mathematiker der Renaissance negative Zahlen im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen ein.

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