Ableitung der Sinusfunktion

Um die Ableitung der Sinusfunktion zu ermitteln, stellen wir den Differenzenquotienten von f an einer beliebigen Stelle $x_0$ auf:
$d(h)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{\sin \left(x_0+h\right)-\sin x_0}{h}$

Da nach einem Additionstheorem $\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$ gilt, erhalten wir im vorliegenden Fall $\sin \left(x_0+h\right)=\sin x_0\cdot \cosh +\cos x_0\cdot \sin h$ und damit:

$\begin{array}{c}d(h)=\frac{\sin x_0{x}_0\cdot \cos h+\cos x_0\cdot \sin h-\sin x_0}{h}\\ =\frac{\sin x_0\cdot \cos h-\sin x_0}{h}+\frac{\cos x_0\cdot \sin h}{h}\\ =\sin x_0\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x_0\cdot \frac{\sin h}{h}\end{array}$

Nun wird der Grenzwert des Differenzenquotienten für $h\to 0$ gebildet. Man erhält nach den Grenzwertsätzen:

$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }d\left(h\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\sin x_0\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x_0\cdot \frac{\sin h}{h}\right)\\ =\sin x_0\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}+\cos x_0\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}(\ast )\end{array}$

Das bedeutet: Der Grenzwert des Differenzenquotienten für $h\to 0$ existiert, wenn die Grenzwerte $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}und\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}$ existieren.

Es lässt sich zeigen, dass $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ gilt.

Um $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ ermitteln zu können, wird folgende Umformungen durchgeführt:$\frac{\cos h-1}{h}=\frac{\left(\cos h-1\right)\left(\cos h+1\right)\cdot h}{h\cdot \left(\cos h+1\right)\cdot h}=\frac{\left({\cos }^{2}h-1\right)\cdot h}{h^2\left(\cos h+1\right)}$

Wegen ${\sin }^{2}h+{\cos }^{2}h=1$ gilt ${\cos }^{2}h-1=-{\sin }^{2}h.$

Damit ist $\frac{\cos h-1}{h}=\frac{-{\sin }^{2}h}{h^2}\cdot \frac{h}{\cos h+1}=-\left(\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{h}\right)\cdot \frac{h}{\cos h+1}.$

Für $h\to 0$ erhält man dann:

$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=-\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}\right)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{\cos h+1}\frac{\cos h-1}{h}\\ ==-\left(1\cdot 1\right)\cdot \frac{\underset{h\to 0}{\lim }h}{\underset{h\to 0}{\lim }\cosh +\underset{h\to 0}{\lim }1}=-1\cdot \frac{0}{1+1}=0\\ \end{array}$
Setzt man die ermittelten Grenzwerte $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1und\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=0$ in obige Gleichung (*) ein, so ergibt sich: Der Grenzwert des Differenzenquotienten von $f\left(x\right)=\sin x$ an einer beliebigen Stelle $x_0$ existiert und es ist $f\text{'}\left(x_0\right)=\cos x_0.$

Also gilt für die Ableitung der Sinusfunktion:

• Die Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x$ ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=\cos x.$

Beispiel: Es ist der Anstieg der Funktion $f\left(x\right)=2\sin x+\sin 2x+{\sin }^{2}x$ an der Stelle $x_0=\frac{\pi }{3}$ zu ermitteln.

Wir erhalten:

$\begin{array}{c}(2\cdot \sin x)\text{'}=2\cdot \cos x(Faktorregel)\\ (\sin 2x)\text{'}=2\cdot \cos 2x(Faktor\text{-}undKettenregel)\\ ({\sin }^{2}x)\text{'}=2\cdot \sin x\cdot \cos x(Potenz\text{-}undKettenregel)\end{array}$

Damit gilt:

$\begin{array}{c}f\text{'}(x)=2\cdot \cos x+2\cdot \cos 2x+2\cdot \sin x\cdot \cos x\\ f\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$