17 Suchergebnisse

LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
*  15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

LEONHARD EULER war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Bedeutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht. Zwar gilt er vor allem als Mathematiker, doch hat er auch andere Gebiete – oft unter Nutzung der Mathematik – bearbeitet.

LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
*  15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

Die Würdigung der mathematischen Beiträge EULERs muss sich hier auf einige ausgewählte Beispiele beschränken.

EULERs besondere Liebe galt der Zahlentheorie.

Der Wert eines bestimmten Integrals hängt von der Integrandenfunktion und den Integrationsgrenzen ab. Bei gegebener Integrandenfunktion können sich Untersuchungen am bestimmten Integral auf die Überprüfung des Einflusses von Veränderungen der Integrationsgrenzen beschränken.

Existiert an der Stelle $x_0$ des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle $x_0$ bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$ an.

Für eine Funktion mit einer Gleichung $y=f\left(x\right)$, also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung $y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)$ an einer Stelle $x_0$ erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ an.

Es sei nun $z=f\left(x,y\right)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y=y_0$, so erhält man eine Funktion $z=f\left(x,y_0\right)$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_0$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z=f\left(x,y\right)$ nach x an der Stelle $\left(x_0;y_0\right)$ und schreibt:
$f_x\left(x_0;y_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{h}$

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=-\sin x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=\cos x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Die Analysis (oder auch Infinitesimalrechnung) beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Differenzial- und Integralrechnung.
Ausgangspunkt für die Integralrechnung war das schon in der Antike betrachtete Problem der Bestimmung des Inhalts von Flächen und Körpern, wie etwa von Rotationskörpern.
Die Differenzialrechnung hat ihre Wurzeln dagegen im Tangentenproblem, mit dem sich Mathematiker im 17. Jahrhundert intensiver beschäftigten.
Im 18. Jahrhundert wurde der Zusammenhang zwischen dem Differenzieren und Integrieren erkannt und im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formuliert. Hierzu trugen wesentlich ISAAC NEWTON und GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ bei.

Es sei g mit $y=g\left(x\right)$ eine über ihrem gesamten Definitionsbereich $D_f$ differenzierbare Funktion mit der Ableitung $y^{\prime }=g^{\prime }\left(x\right)$.
Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor $k\in ℝ$ erhält man die Funktion $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$.

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion $f\left(x\right)=c\left(c\in ℝ,aberfest\right)$ besitzt für alle $x\in ℝ$ die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=0.$

Unter einer Potenzfunktion wird eine Funktion mit einer Gleichung der Form $y=f\left(x\right)=x^n\left(x\in ℝ;n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right)$verstanden.

Ihre Ableitung erfolgt mithilfe der Potenzregel der Differenzialrechnung:

• Die Funktion $f\left(x\right)=x^n\left(n\in \mathbb{N};n\ge 1\right)$ ist differenzierbar und $f^{\prime }\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ gilt.

Im Folgenden soll die Potenzregel der Differenzialrechnung für Potenzfunktionen $f\left(x\right)=x^n$ bewiesen werden.
Über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus ist die Potenzregel auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten n $\left(falls{x}_0\ne 0\right)$, mit rationalen Exponenten n $\left(x>0\right)$ und sogar mit reellen Exponenten n $\left(x>0\right)$ anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Im Folgenden soll die Produktregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Produktregel lässt sich auch auf endlich viele Faktoren erweitern.$$

Im Folgenden soll die Quotientenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.$\frac{ }{}$

Im Folgenden soll die Summenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden, was mithilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion bewiesen werden kann.

* 15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

LEONHARD EULER war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Bedeutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht. Zwar gilt er vor allem als Mathematiker, doch hat er unter Nutzung der Mathematik, insbesondere der analytischen Methode, auch andere wissenschaftliche Gebiete (Mechanik, Planetenbewegung, Strömungslehre, Optik u.a.) erfolgreich bearbeitet.
Seine mathematischen Arbeiten beschäftigten sich vor allem mit Problemen der Analysis und der Zahlentheorie.