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Ableitung von Potenzfunktionen

Unter einer Potenzfunktion wird eine Funktion mit einer Gleichung der Form y = f ( x ) = x n ( x ∈ ℝ ; n ∈ ℤ \ { 0 } ) verstanden.

Ihre Ableitung erfolgt mithilfe der Potenzregel der Differenzialrechnung:

  • Die Funktion f ( x ) = x n       ( n ∈ ℕ ;       n ≥ 1 ) ist differenzierbar und f ′ ( x ) = n ⋅ x n   −   1 gilt.

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Die Potenzregel ist über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus auch auf Potenzfunktionen y = f ( x ) = x n mit ganzzahligen Exponenten n ( f a l l s       x 0 ≠ 0 ) , mit rationalen Exponenten n ( x > 0 ) und sogar mit reellen Exponenten n ( x > 0 ) anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Beispiel 1: Für die Ableitung von f ( x ) = x 9 ergibt sich nach der Potenzregel:
f ′ ( x ) = 9 ⋅ x 9   −   1 = 9 x 8

Beispiel 2: Als Ableitung von f ( x ) = 7 x 8 erhält man nach Faktor- und Potenzregel:
f ′ ( x ) = 7 ⋅ ( 8 ⋅ x 7 ) = 56 x 7

Beispiel 3: Es ist der Anstieg des Graphen der Funktion f ( x ) = x 4 an der Stelle x 0 = 3 zu bestimmen.

Die Ableitung von f ( x ) = x 4 ist f ′ ( x ) = 4 x 3 (Potenzregel). Für x 0 = 3 erhält man f ′ ( 2 ) = 4 ⋅ 3 3 = 108 . Der Anstieg des Graphen der Funktion f ( x ) = x 4 im Punkt P ( 3 ;   81 ) ist m = tan α = 108 .

Beispiel 4: Es ist die Ableitung der Funktion f ( x ) = 5 6 x 3       ( x ≠ 0 ) zu bestimmen.

Wegen f ( x ) = 5 6 x −   3 gilt f ′ ( x ) = 5 6 ⋅ ( −   3 ) x −   4 = −   5 2 x 4 .

Beispiel 5: An welcher Stelle x 0 besitzt der Graph der Funktion f ( x ) = x       ( x > 0 ) die Steigung m = 3 ?

Aus f ( x ) = x 1 2 ergibt sich f ′ ( x ) = 1 2 ⋅ x −   1 2 = 1 2 x .
Die Gleichung 1 2 x = 3 hat die Lösung x 0 = 1 36 .
Das heißt: Der Graph der Funktion f ( x ) = x hat an der Stelle x 0 = 1 36 . die Steigung 3.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Ableitung von Potenzfunktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/ableitung-von-potenzfunktionen (Abgerufen: 09. June 2025, 13:35 UTC)

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