Stammfunktionen

• Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich $D_f\left(=D_F\right)$ besitzen und für alle $x\in D_f$ gilt:
  $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam:

• f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt: $f\text{'}\left(x\right)=0$

Beweis:
Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen:
a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt $f\text{'}\left(x\right)=0$ für jedes x.
b) Wenn $f\text{'}\left(x\right)=0$ für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion.

Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden:

Voraussetzung: Für jedes x gelte $f\text{'}\left(x\right)=0$.
Behauptung: f ist eine konstante Funktion.

Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d.h., dass stets $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ gilt, wie man a und b auch wählt.

Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ist f eine im Intervall $\left]a;b\right[$ differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt:
$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f\text{'}\left(c\right)\left(c\in \left]a;b\right[\right)$

Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus $f\left(b\right)-f\left(a\right)=f\text{'}\left(c\right)\left(b-a\right)$.
Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch $f\text{'}\left(c\right)=0$.
Damit gilt $f\left(b\right)-f\left(a\right)=0$, woraus $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ folgt.

Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d.h., f ist eine konstante Funktion.
w.z.b.w.

Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden.

Stammfunktionen einer Funktion

• Es sei $F_1$ eine Stammfunktion von f in D. $F_2$ ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C $\left(C\in ℝ\right)$ gibt, so dass $F_2\left(x\right)=F_1\left(x\right)+C$ für alle $x\in D$ gilt.

Beweis:
Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis „in beiden Richtungen“ führen.

a) Es sei $F_2\left(x\right)=F_1\left(x\right)+C$ (für alle $x\in D$).
Dann ist $F_2$ differenzierbar und es gilt $F_2\text{'}\left(x\right)=F_1\text{'}\left(x\right)$.
Da nach Voraussetzung $F_1\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$, folgt $F_2\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$, d.h., $F_2$ ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.

b) Es sei $F_2$ Stammfunktion von f. Dann gilt $F_2\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$.
Da nach Voraussetzung auch $F_1\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ ist, folgt $F_2\text{'}\left(x\right)=F_1\text{'}\left(x\right)$ bzw. $F_2\text{'}\left(x\right)-F_1\text{'}\left(x\right)=0$.
Das heißt, die Differenzenfunktion $F_2\left(x\right)-F_1\left(x\right)$ hat die Ableitung 0 und muss daher eine konstante Funktion sein: $F_2\left(x\right)-F_1\left(x\right)=C$ bzw. $F_2\left(x\right)=F_1\left(x\right)+C$
w. z. b. w.

Für die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f wird ein neuer Begriff eingeführt.

• Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f. Man schreibt:
  ${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=\left\{F\left(x\right)|F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)\right\}}$

Will man die Mengenschreibweise vermeiden, kann man auch nur mit einem Repräsentanten arbeiten:
${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)}+C\left(F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right),C\in ℝ\right)$
Dabei bezeichnet man
f(x) als Integrandenfunktion – kurz: Integrand,
x als Integrationsvariable,
C als Integrationskonstante,
dx als Differenzial des unbestimmten Integrals
${\displaystyle \int f\left(x\right)dx}$
(gelesen: Integral über f von x dx).

Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann.

Beispiel

Schreibt man
$\begin{array}{l}{\displaystyle \int \sin x\cdot \cos xdx=\frac{1}{2}}{\sin }^{2}x\left(da\frac{d{\sin }^{2}x}{dx}=2\sin x\cdot \cos x\right)\\ bzw.\\ {\displaystyle \int \sin x\cdot \cos xdx=-\frac{1}{2}}{\cos }^{2}x\left(da\frac{d{\cos }^{2}x}{dx}=-2\sin x\cdot \cos x\right)\end{array}$
so ergäbe sich die falsche Aussage ${\sin }^{2}x=-{\cos }^{2}xbzw.{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=0$.