Kettenregel der Differenzialrechnung

Die Kettenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Es sei die Funktion u (Definitionsbereich $D_u$) an der Stelle $x_0$ und die Funktion v (Definitionsbereich $D_v$ mit $W_u\subseteq D_v$) an der Stelle $u\left(x_0\right)$ differenzierbar.
  Dann ist auch die verkettete Funktion $f=v\circ u$ in $x_0$ differenzierbar und es gilt $f\text{'}\left(x_0\right)=v\text{'}\left(u\left(x_0\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x_0\right)$.
  Mit anderen Worten: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.

Beweis der Kettenregel

Wir bilden den Differenzenquotienten von f und erweitern diesen mit $u\left(x\right)-u\left(x_0\right)\ne 0$:

$\begin{array}{c} d\left(x\right)=\frac{v\left(u\left(x\right)\right)-v\left(u\left(x_0\right)\right)}{x-x_0}\\ =\frac{v\left(u\left(x\right)\right)-v\left(u\left(x_0\right)\right)}{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}\cdot \frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}\end{array}$

Mit $u\left(x\right)=tundu\left(x_0\right)=t_0$ erhält man für den Grenzwert des Differenzenquotienten:

$\underset{x\to x_0}{\lim }d\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{v\left(t\right)-v\left(t_0\right)}{t-t_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Da $u\left(x\right)$ in differenzierbar ist, gilt $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}=u\text{'}\left(x_0\right)$.
Da aus der Differenzierbarkeit an einer Stelle die Stetigkeit folgt, ist $u\left(x\right)$ dann auch stetig in $x_0$, d.h., es gilt $\underset{x\to x_0}{\lim }u\left(x\right)=u\left(x_0\right)$ bzw. $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[u\left(x\right)-u\left(x_0\right)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(t-t_0\right)=0.$

Mit anderen Worten: Bei der Grenzwertbildung zu $v\text{'}\left(t_0\right)$ kann $x\to x_0$ durch $t\to t_0$ ersetzt werden. Da nach Voraussetzung v an der Stelle $t_0=u\left(x_0\right)$ differenzierbar ist, gilt also:

$\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{v\left(t\right)-v\left(t_0\right)}{t-t_0}=v\text{'}\left(t_0\right)=v\text{'}\left(u\left(x_0\right)\right)$

Damit ist aber:
$f\text{'}\left(x_0\right)=v\text{'}\left(u\left(x_0\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x_0\right)w.z.b.w.$

Leibnizsche Schreibweise

Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam:

• Ist $y=f\left(x\right)=v\left(z\right)$ und $z=u\left(x\right)$, dann gilt: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx},$
  wobei $\frac{dz}{dx}=u\text{'}\left(x\right)$ die Ableitung der inneren Funktion und $\frac{dy}{dz}=v\text{'}\left(z\right)$die Ableitung der äußeren Funktion ist.

Beispiel 1: Es ist die Ableitung der Funktion $y=f\left(x\right)={\left(x^4-x^3+2x^2-1\right)}^{25}$ nach der Kettenregel zu bilden.

In diesem Falle ist $z=u\left(x\right)=x^4-x^3+2x^2-\mathrm{1,}v\left(z\right)=z^{25}$ und demzufolge $u\text{'}\left(x\right)=\frac{dz}{dx}=4x^3-3x^2+4x$ sowie $v\text{'}\left(z\right)=\frac{dy}{dz}=25z^{24}$.

Dann gilt:
$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}\\ =25z^{24}\cdot \left(4x^3-3x^2+4x\right)\\ =25{\left(x^4-x^3+2x^2-1\right)}^{24}\cdot \left(4x^3-3x^2+4x\right)\end{array}$

Bei komplizierteren Termstrukturen wie etwa in $g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{{\left(x+2\right)}^2}\left(2x-7\right)$ ist die Verwendung eines CAS vorteilhaft.

Anwendung auf mehrfach verkettete Funktionen

Die Kettenregel ist auch auf mehrfach verkettete Funktionen anwendbar.
Es gilt dann sinngemäß:

• Ist f eine über den Definitionsbereich differenzierbare und mehrfach verkettete Funktion, dann gilt:
  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d{z}_1}\cdot \frac{d{z}_1}{d{z}_2}\cdot \mathrm{...}\cdot \frac{d{z}_{n-1}}{d{z}_n}\cdot \frac{d{z}_n}{dx}$

Beispiel 2: Es sei die Funktion mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=\sqrt{{\left(e^{\ln x}\right)}^2}\left(x>0\right)$ betrachtet. Diese lässt sich zu $y=f\left(x\right)=x$ vereinfachen und hat demzufolge die Ableitung $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=1$.

Würde man obige Regel anwenden, dann ergäbe sich mit den Einzelfunktionen $y=\sqrt{z_1};z_1=z_2{}^2;z_3=\ln x$ sowie $\frac{dy}{d{z}_1}=\frac{1}{2\sqrt{z_1}};\frac{d{z}_1}{d{z}_2}=2z_2;\frac{d{z}_2}{d{z}_3}=e^{z_3};\frac{d{z}_3}{dx}=\frac{1}{x}$ als deren Ableitungen:

$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{z_1}}\cdot 2z_2\cdot e^{z_3}\cdot \frac{1}{x}\\ =\frac{1}{2z_2}\cdot 2z_2\cdot e^{\ln x}\cdot \frac{1}{x}=1\cdot x\cdot \frac{1}{x}=1\end{array}$