Quotientenregel der Differenzialrechnung

Die Quotientenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Sind zwei Funktionen u und v in $x_0$ differenzierbar und ist $v\left(x_0\right)\ne 0$, so ist an dieser Stelle auch die Funktion q mit $q\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ differenzierbar. Es gilt:
  $q\text{'}\left(x_0\right)=\frac{u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)}{{\left[v\left(x_0\right)\right]}^2}$

Da diese Aussage für ein beliebiges $x_0$ aus dem Bereich gilt, in dem sowohl u als auch v differenzierbar sind und wo $v\left(x_0\right)\ne 0$ gilt, kann man vereinfacht schreiben: $q=\frac{u}{v}\Rightarrow q\text{'}=\frac{u\text{'}v-v\text{'}u}{v^2}$

Beweis der Quotientenregel

Voraussetzung: Die zwei Funktionen u mit $u=u\left(x\right)undv=v\left(x\right)$sind an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es ist $v\left(x_0\right)\ne 0$.

Behauptung: $q\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt: $q\text{'}\left(x_0\right)=\frac{u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)}{{\left[v\left(x_0\right)\right]}^2}$

Beweis :
$\begin{array}{c}d\left(h\right)=\frac{q\left(x_0+h\right)-q\left(x_0\right)}{h}\\ =\frac{1}{h}\cdot \left(\frac{u\left(x_0+h\right)}{v\left(x_0+h\right)}-\frac{u\left(x_0\right)}{v\left(x_0\right)}\right)=\frac{1}{h}\cdot \frac{u\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0+h\right)}{v\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)}\\ =\frac{1}{h}\cdot \frac{u\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)+u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0+h\right)}{v\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)}\\ =\frac{1}{h}\cdot \frac{\left[u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)\right]\cdot v\left(x_0\right)+\left[v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)\right]\cdot u\left(x_0\right)}{v\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)}\\ =\frac{1}{v\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)}\cdot \left[\frac{u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)}{h}\cdot v\left(x_0\right)-\frac{v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)}{h}\cdot u\left(x_0\right)\right]\end{array}$

Die Summanden in der zuletzt aufgeführten Summe enthalten als Faktoren die Differenzenquotienten von u bzw. v, deren Grenzwerte für h gegen 0 laut Voraussetzung existieren. Damit ist (bei Verwendung der Grenzwertsätze für Funktionen):

$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{\lim }d\left(h\right)=q\text{'}\left(x_0\right)\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{v\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0\right)}\cdot \left[\frac{u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)}{h}\cdot v\left(x_0\right)-\frac{v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)}{h}\cdot u\left(x_0\right)\right]\\ =\frac{u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)}{{\left[v\left(x_0\right)\right]}^2}w.z.b.w.\end{array}$

Beispiele

• Beispiel 1: Zu bestimmen ist die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\frac{2x^2+3x}{x^2-2x+5}.$

Für $u\left(x\right)=2x^2+3x$ und $v\left(x\right)=x^2-2x+5\left(v\left(x\right)\ne 0fürx\in ℝ\right)$ gilt nach der Potenzregel bzw. der Summenregel $u\text{'}\left(x\right)=4x+3$ und $v\text{'}\left(x\right)=2x-2$. Damit ist:

$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(4x+3\right)\left(x^2-2x+5\right)-\left(2x-2\right)\left(2x^2+3x\right)}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}\\ =\frac{-7x^2+20x+15}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}\end{array}$

• Beispiel 2: Ist $y=f\left(x\right)$ eine über $D_f$ differenzierbare Funktion, so hat die Funktion g mit $g\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}\left(f\left(x\right)\ne 0\right)$ die Ableitung $g\text{'}\left(x\right)=\frac{-f\text{'}\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2}$.

Wegen $g\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\frac{1}{f\left(x\right)}$ gilt nach der Quotientenregel $g\text{'}\left(x\right)=\frac{0\cdot f\left(x\right)-f\text{'}\left(x\right)\cdot 1}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2}$ und damit $g\text{'}\left(x\right)=\frac{-f\text{'}\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2}.$

Die Funktion $h\left(x\right)=\frac{1}{x^2-2x+5}$ hat demzufolge die Ableitung $h\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x+2}{{\left(x^2-2x+5\right)}^2}.$

Bei komplizierteren Termstrukturen kann die Anwendung der Quotientenregel ziemlich aufwendig sein. In einem solchen Fall empfiehlt sich die Anwendung eines CAS, wie beispielsweise für $k\left(x\right)=\frac{4x^3-5x^2+2x}{{\left(x+3\right)}^2}$.