Addition und Vielfachbildung von Matrizen

Addition von Matrizen

Die Addition von (zwei) Matrizen gleichen Typs (also Matrizen gleicher Zeilen- und gleicher Spaltenzahl) erfolgt durch die Addition entsprechender Elemente.

• Definition: $A=\left(a_{ik}\right)undB=\left(b_{ik}\right)$ seien $\left(m\times n\right)\text{-Matrizen}\text{,}$
  d.h. Matrizen vom Typ $\left(m,n\right).$
  Dann versteht man unter ihrer Summe $A+B$ eine Matrix C mit folgender Eigenschaft:
  $\begin{array}{c}A+B=C=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \mathrm{...}& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \mathrm{...}& b_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ b_{m1}& b_{m2}& \mathrm{...}& b_{mn}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}+b_n\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)\end{array}$

Die Summe $A+B=C=\left(c_{ik}\right)$ ist (wieder) eine Matrix vom Typ $\left(m,n\right)$ mit $c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}.$

• Beispiel 1: Gegeben sind die Matrizen
  $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 2& 1& 0\end{array}\right)undB=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 6\\ 0& 4& 1\end{array}\right).$
  Die Summe ergibt sich dann wie folgt:
  $\begin{array}{c}A+B=\left(\begin{array}{ccc}3+2& 4-3& -5+6\\ 2+0& 1+4& 0+1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 1\\ 2& 5& 1\end{array}\right)=C\end{array}$

Eigenschaften der Addition von Matrizen gleichen Typs:

1. Die Addition ist kommutativ, d.h., es gilt:
   $A+B=B+A$
2. Die Addition ist assoziativ, d.h., es gilt:
   $A+\left(B+C\right)=\left(A+B\right)+C$
3. Die Addition ist umkehrbar, d.h., es gilt:
   $A+B=C\iff B=C-A$

Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl)

Man erhält das skalare Vielfache einer Matrix, indem man jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert.

• Definition: Sei $A=\left(a_{ik}\right)$ eine $\left(m\times n\right)\text{-Matrix}$ und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen $rA$ der Matrix A eine Matrix C mit folgender Eigenschaft:
  $rA=C=r\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}r{a}_{11}& r{a}_{12}& \mathrm{...}& r{a}_{1n}\\ r{a}_{21}& r{a}_{22}& \mathrm{...}& r{a}_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ r{a}_{m1}& r{a}_{m2}& \mathrm{...}& r{a}_{mn}\end{array}\right)$
  Anmerkung: Man spricht auch von der S-Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl.

Das Vielfache $rA=C=\left(c_{ik}\right)$ ist (wieder) eine Matrix vom Typ $\left(m,n\right)$. Wegen $r{a}_{ik}=a_{ik}r$ versteht man unter $Ar$ die Matrix $rA.$

• Beispiel 2: Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 2& 1& 0\end{array}\right)undr=5.$
  Dann ist:
  $\begin{array}{l}5A=5\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}5\cdot 3& 5\cdot 4& 5\cdot \left(-5\right)\\ 5\cdot 2& 5\cdot 1& 5\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}15& 20& -25\\ 10& 5& 0\end{array}\right)\end{array}$

Die skalare Vervielfachung hat folgende Eigenschaften:

1. $r\left(sA\right)=\left(rs\right)A$
2. $\left(r+s\right)A=rA+sA$
3. $r\left(A+B\right)=rA+rB$

Unter Nutzung der Vervielfachung kann die Subtraktion von Matrizen (gleichen Typs) folgendermaßen auf die Addition zurückgeführt werden:

$\begin{array}{c}A-B=A+\left(-1\right)B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}-b_{11}& -b_{12}& \mathrm{...}& -b_{1n}\\ -b_{21}& -b_{22}& \mathrm{...}& -b_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ -b_{m1}& -b_{m2}& \mathrm{...}& -b_{mn}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}-b_{1n}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}-b_n\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}-b_{mn}\end{array}\right)\end{array}$