Matrizen in der Volkswirtschaft (LEONTIEF-Modell)

Der Input stellt dabei das Aufkommen des jeweiligen Wirtschaftszweiges und der Output den Verbrauch dar. Das Prinzip ist anhand folgender Tabelle erkennbar.

Die Gesamtproduktion $x_i$ ergibt sich allgemein stets als Summe:
$x_i=x_{i1}+x_{i2}+x_{i3}+\mathrm{...}+x_{in}+y_i=\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}_{ij}}\right)+y_i$
Die Werte $x_{ij}miti=j$ geben den Eigenbedarf des Wirtschaftszweiges an.

Als Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) dargestellt ergibt sich das folgende Bild:

Anmerkung: Die Bezeichnung Gozinto ist dem Englischen entlehnt („the part that goes into“).

Auf obiges Beispiel bezogen gilt (in Matrizenform)
$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 4& 2& 2\\ 4& 2& 2\end{array}\right)und\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 4\end{array}\right),$
wobei P die Produktionsmatrix und $\overrightarrow{y}$ der Marktvektor ist.

Folgen, die durch Veränderung eines Wertes der Produktionsmatrix P oder des Marktvektors $\overrightarrow{y}$ hervorgerufen werden, erkennt man besser in der Verflechtungs- oder Technologiematrix.

Die Produktions- oder Technologiekoeffizienten $a_{ij}$ werden nach der Vorschrift $a_{ij}=\frac{x_{ij}}{x_j}$ gebildet, also:
$a_{11}=\frac{2}{10},a_{12}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7},a_{13}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},\mathrm{...}$

Die Technologiematrix A ergibt sich dann folgendermaßen:
$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}& \frac{1}{7}& \frac{1}{3}\\ \frac{2}{5}& \frac{1}{7}& \frac{1}{6}\\ \frac{2}{5}& \frac{1}{7}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$

LEONTIEF stellte folgende Gleichungen zur Berechnung der Produktionszahlen bzw. des Marktaufkommens auf (die Produktionszahlen werden im Vektor $\overrightarrow{x}$ zusammengefasst):
$\begin{array}{c}\overrightarrow{y}=\left(E-A\right)\cdot \overrightarrow{x},also\\ \overrightarrow{x}={\left(E-A\right)}^{-1}\cdot \overrightarrow{y}\left(EEinheitsmatrix\right)\end{array}$

Nach LEONTIEF wird die Volkswirtschaft jeder externen Marktforderung gerecht, wenn die Matrix $\left(E-A\right)$ invertierbar ist und ${\left(E-A\right)}^{-1}$ keine negativen Koeffizienten enthält.

• Beispiel: Drei Zweigbetriebe A, B und C eines Konzerns sind nach dem LEONTIEF-Modell miteinander verknüpft. Die gegenwärtigen Produktionsdaten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
  Mit welcher Produktion ist bei gleichbleibenden Rahmenbedingungen der geplante Marktvektor zu realisieren?

Lösung:
Die Technologiematrix ist dann $A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,4}& \mathrm{0,1}\\ 0& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}\end{array}\right).$
Daraus folgt $\left(E-A\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}\\ -\mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}& -\mathrm{0,1}\\ 0& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\end{array}\right),$
und für die neuen Produktionszahlen gilt:
$\begin{array}{c} \overrightarrow{x}={\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& -\mathrm{0,2}& -\mathrm{0,3}\\ -\mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}& -\mathrm{0,1}\\ 0& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}41\\ 42\\ 5\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1,905}& \mathrm{1,429}& \mathrm{2,381}\\ \mathrm{0,357}& \mathrm{2,143}& \mathrm{1,071}\\ \mathrm{0,238}& \mathrm{1,429}& \mathrm{4,048}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}41\\ 42\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 110\\ 90\end{array}\right)\end{array}$

Wenn also durch den Betrieb A 150, durch B 110 und durch C 90 Produkteinheiten hergestellt werden, kann die neue Forderung des Marktes erfüllt werden.