Lineare Abbildungen

Als Beispiele linearer Abbildungen seien hier genannt:

1. die Matrix-Vektor-Produkte mit
   $\begin{array}{c}A\cdot \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=A\cdot \overrightarrow{a}+A\cdot \overrightarrow{b}und\\ A\cdot \left(r\overrightarrow{a}\right)=rA\cdot \overrightarrow{a}\end{array}$
2. die Bildung der Ableitungen differenzierbarer Funktionen f und g mit
   $\begin{array}{c}\left(f+g\right)\text{'}=f\text{'}+g\text{'}und\\ \left(r\cdot f\right)\text{'}=r\cdot f\text{'}\end{array}$

Von den linearen Funktionen der Analysis $y=f\left(x\right)=mx+n$ besitzen die oben genannten Linearitätseigenschaften nur die, bei denen $n=0$ ist, also die Funktionen, deren Graph eine Ursprungsgerade ist.

Bei der Funktion $y=f\left(x\right)=3x+2$ hingegen wäre $f\left(x_1+x_2\right)=3\left(x_1+x_2\right)+2=3x_1+3x_2+\mathrm{2,}$ aber $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=3x_1+2+3x_2+2=3x_1+3x_2+4.$

Matrixschreibweise

Eine lineare Abbildung eines Raumes ${ℝ}^n$ in einen Raum ${ℝ}^m$ mit $n<m$ kann als Matrix geschrieben werden.

• Beispiel: f sei eine lineare Abbildung von ${ℝ}^{2}in{ℝ}^3.$

Der Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ wird als Linearkombination der Basisvektoren $\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)und\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ geschrieben.

Damit gilt $\overrightarrow{x}=x_1\overrightarrow{e_1}+x_2\overrightarrow{e_2}.$

Da f eine lineare Abbildung ist, gilt:
$f\left(x_1\overrightarrow{e_1}+x_2\overrightarrow{e_2}\right)=x_{1}f\left(\overrightarrow{e_1}\right)+x_{2}f\left(\overrightarrow{e_2}\right)$

Die Bilder der Basisvektoren $\overrightarrow{e_1}und\overrightarrow{e_2}$ sind Vektoren des ${ℝ}^3$ mit
$f\left(\overrightarrow{e_1}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)undf\left(\overrightarrow{e_2}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right).$

Damit gilt:
$\begin{array}{l}f\left(\overrightarrow{x}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}{a}_1{x}_1+b_1{x}_2\\ a_2{x}_1+b_2{x}_2\\ a_3{x}_1+b_3{x}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}\right)\cdot \overrightarrow{x} \end{array}$