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Eine Abbildung f vom Vektorraum $V_1$ in den Vektorraum $V_2$ heißt genau dann linear, wenn für alle $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V_1$ und $r\in ℝ$ gilt:
$\begin{array}{ccc}\left(1\right)& f\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=f\left(\overrightarrow{a}\right)+f\left(\overrightarrow{b}\right)& (fistadditiv)\\ \left(2\right)& f\left(r\overrightarrow{a}\right)=rf\left(\overrightarrow{a}\right)& (fist\mathrm{hom}ogen) \end{array}$
$$

Eine nichtleere Menge G von Elementen a, b, c, ... heißt Gruppe, wenn in ihr eine Operation $\circ$ erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:

1. Die Operation $\circ$ ist assoziativ,
   d.h. für alle Elemente $a,b,c\in G$ gilt $a\circ \left(b\circ c\right)=\left(a\circ b\right)\circ c$.
2. Die Operation $\circ$ ist umkehrbar, d.h. zu beliebigen Elementen $a,b\in G$ sind die Gleichungen $a\circ x=b$ und $y\circ a=b($ mit $x\in G$ und $y\in G)$ lösbar.

Man nennt G eine abelsche Gruppe, wenn zusätzlich noch gilt:

3. Die Operation $\circ$ ist kommutativ, d.h. für alle $a,b\in G$ gilt $a\circ b=b\circ a$.

Sind $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}$ Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V. Die Menge $\left\{\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}\right\}$ wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.
Von besonderem Interesse ist ein minimales Erzeugendensystem für U, d.h. ein System mit kleinstmöglicher Zahl m, welches dann Basis von U genannt wird.

Für die folgenden Betrachtungen werden die Begriffe der linearen Unabhängigkeit bzw. der linearen Abhängigkeit von Vektoren benötigt.

Die Betrachtung der Bedingungen der Vektorraumdefinition führen zur Definition eines Unterraumes sowie dem Unterraumkriterium und weiter zum Begriff des Erzeugendensystems. Es werden Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume angeführt.

Es seien $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ Vektoren eines Vektorraumes V (mit $\overrightarrow{o}$ als dem Nullvektor).

• Die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung ${\lambda }_1\overrightarrow{a_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{...}+{\lambda }_n\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{o}$ nur für ${\lambda }_1={\lambda }_2=\mathrm{...}={\lambda }_n=0$ erfüllt ist.
  Anderenfalls heißen die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ linear abhängig.

GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932), italienischer Mathematiker und Logiker
* 27. August 1858 Cuneo, Piemonte
† 20. April 1932 Turin

GIUSEPPE PEANO trug entscheidend zur Weiterentwicklung der mathematischen Logik und zur Herausarbeitung der axiomatischen Methode bei. Des Weiteren wirkte er auf die Symbolik der Mengenlehre.
Von PEANO stammt das (nach ihm benannte und noch heute verwendete) Axiomensystem zum Aufbau der natürlichen Zahlen.

* 27. August 1858 Cuneo, Piemonte
† 20. April 1932 Turin

GIUSEPPE PEANO trug entscheidend zur Weiterentwicklung der mathematischen Logik und zur Herausarbeitung der axiomatischen Methode bei. Des Weiteren wirkte er auf die Symbolik der Mengenlehre.

Von PEANO stammt das (nach ihm benannte und noch heute verwendete) Axiomensystem zum Aufbau der natürlichen Zahlen.