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  6. Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Es seien a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → Vektoren eines Vektorraumes V (mit o → als dem Nullvektor).

  • Die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + ... + λ n a n → = o → nur für λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 erfüllt ist.
    Anderenfalls heißen die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → linear abhängig.

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  • Der Vektor b → (aus V) wird als Linearkombination der Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → bezeichnet, wenn es reelle Zahlen λ   i gibt, für die gilt:
    λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + ... + λ n a n → = b →

Unter Verwendung des Begriffes Linearkombination lässt sich nun äquivalent formulieren:

  • Die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → heißen linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination aus den übrigen darstellen lässt.

Wir betrachten dazu im Folgenden zwei Beispiele.

  • Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die beiden Vektoren a 1 → = ( 3 1 )       u n d       a 2 → = ( 12 4 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Wir gehen von folgender Gleichung aus:
     λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → = o →     b z w .     λ 1 ( 3 1 ) + λ 2 ( 12 4 ) = ( 0 0 )

Das sich hieraus ergebende homogene lineare Gleichungssystem
  3 λ 1 + 12 λ 2 = 0 λ 1 +       4 λ 2 = 0

besitzt neben der trivialen Lösung λ 1 = λ 2 = 0 noch λ 1 = 4       u n d       λ 2 = − 1 als Lösung.

Damit gilt 4 a 1 → − a 2 → = o → , d.h., die beiden Vektoren a 1 →       u n d       a 2 → sind linear abhängig.

  • Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die drei Vektoren a 1 → = ( 1 1 0 ) ,       a 2 → = ( 1 0 1 )       u n d       a 3 → = ( 0 2 0 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Die Vektorgleichung
  λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + λ 3 a 3 → = o →     b z w .     λ 1 ( 1 1 0 ) + λ 2 ( 1 0 1 ) + λ 3 ( 0 2 0 ) = ( 0 0 0 )
führt zu folgendem Gleichungssystem:
  λ 1 + λ 2                               = 0   λ 1                         + 2 λ 3 = 0 λ 2                             = 0

Dieses hat nur die triviale Lösung λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 .

Damit sind die Vektoren a 1 → ,       a 2 →       u n d       a 3 → voneinander unabhängig.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/linear-unabhaengige-vektoren-linearkombination (Abgerufen: 22. October 2025, 10:41 UTC)

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  • linear unabhängig
  • Vektoren
  • Linearkombination
  • Nullvektor
  • Vektorraum
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Vektorprodukt zweier Vektoren

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt a → × b → zweier Vektoren a →       u n d       b → definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

Der Begriff des Vektorraumes

In den mathematischen Arbeitsgebieten und in vielen Anwendungsfeldern trifft man auf Größen, die man ähnlich wie Vektoren im Anschauungsraum addieren und mit einem Zahlenfaktor multiplizieren kann. Man beobachtet auch, dass dieselben grundlegenden Rechengesetze gelten.
Zwecks einheitlicher Untersuchung der sich daraus ergebenden Konsequenzen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraumes eingeführt und eine weit verzweigte allgemeine Vektorraumtheorie aufgebaut.

Basen und Dimension von Unterräumen

Sind a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a m → Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V. Die Menge { a 1 → ,     a 2 → ,     ...,     a m → } wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.
Von besonderem Interesse ist ein minimales Erzeugendensystem für U, d.h. ein System mit kleinstmöglicher Zahl m, welches dann Basis von U genannt wird.

Für die folgenden Betrachtungen werden die Begriffe der linearen Unabhängigkeit bzw. der linearen Abhängigkeit von Vektoren benötigt.

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