Lösen von Vektorgleichungen

Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen zur Ermittlung von Lagebeziehungen geometrischer Objekte gegeben.

• Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Geraden $g_{1}und{g}_2$ zu überprüfen:
  $g_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ $g_2:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Gleichsetzen ergibt:
$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 3r-2s=4\\ (II)& 2r-3s=1\\ (III)& r+6s=8\end{array}$

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für $r=2unds=1.$ Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von $g_{1}bzw.g_2$ liefert die Koordinaten des Schnittpunktes S:
$g_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -2\end{array}\right)\Rightarrow S(4;5;-2)$

• Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ zu überprüfen:
  ${\epsilon }_1\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)+r_1\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)+s_1\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 4\end{array}\right){\epsilon }_2\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)+s_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Gleichsetzen ergibt:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -2\end{array}\right)+r_1\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)+s_1\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)+s_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& -r_1-s_1+r_2=-2\\ (II)& -r_1-5s_1-2r_2-s_2=-3\\ (III)& 3r_1+4s_1+r_2-3s_2=3\end{array}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein kann.
Im vorliegenden Beispiel ist $s_2=t$ frei wählbar.
Wir erhalten $r_1=2t;s_1=1-tund{r}_2=-1+t.$
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle Gleichung für die Schnittgerade:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$