Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 10 Vektoren und Vektorräume
  4. 10.2 Vektoren; Gleichheit, Addition und Vervielfachung
  5. 10.2.0 Überblick
  6. Lösen von Vektorgleichungen

Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
  a → = b → ⇔ Für alle  a i ,     b i  gilt  a i = b i .
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen zur Ermittlung von Lagebeziehungen geometrischer Objekte gegeben.

  • Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Geraden g 1       u n d       g 2 zu überprüfen:
    g 1 :     x → = ( − 2 1 − 4 ) + r ( 3 2 1 ) g 2 :     x → = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 − 6 )

Gleichsetzen ergibt:
( − 2 1 − 4 ) + r ( 3 2 1 ) = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 − 6 )

Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
  ( I ) 3 r − 2 s = 4 ( I I ) 2 r − 3 s = 1 ( I I I ) r + 6 s = 8

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für r = 2       u n d       s = 1. Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von g 1       b z w .       g 2 liefert die Koordinaten des Schnittpunktes S:
g 1 :     x → = ( − 2 1 − 4 ) + 2 ( 3 2 1 ) = ( 4 5 − 2 ) ⇒ S ( 4 ; 5 ; − 2 )

  • Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Ebenen ε 1       u n d       ε 2 zu überprüfen:
    ε 1 :   x → = ( 3 4 − 2 ) + r 1 ( − 1 − 1 3 ) + s 1 ( − 1 − 5 4 )     ε 2 :   x → = ( 1 1 1 ) + r 2 ( − 1 2 − 1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Gleichsetzen ergibt:
  ( 3 4 −   2 ) + r 1 ( −   1 −   1 3 ) + s 1 ( −   1 −   5 4 ) = ( 1 1 1 ) + r 2 ( −   1 2 −   1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
  ( I ) −   r 1           − s 1 + r 2                                 = −   2 ( I I ) −   r 1 − 5 s 1 − 2 r 2       − s 2 = −   3 ( I I I ) 3 r 1 + 4 s 1 + r 2 − 3 s 2 =           3

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein kann.
Im vorliegenden Beispiel ist s 2 = t frei wählbar.
Wir erhalten r 1 = 2 t ;       s 1 = 1 − t       u n d       r 2 = − 1 + t .
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle Gleichung für die Schnittgerade:
  x → = ( 2 − 1 2 ) + t ( − 1 3 2 )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lösen von Vektorgleichungen ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesen-von-vektorgleichungen (Abgerufen: 07. July 2025, 03:11 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Lagebeziehungen
  • lineare Gleichungssysteme
  • Schnittgerade
  • Geraden
  • Gleichungen
  • Prinzip des Koordinatenvergleichs
  • Schnittpunkt
  • Ebenen
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Vektoren, Rechnen

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Rechnen mit Vektoren".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Vektorprodukt zweier Vektoren

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt a → × b → zweier Vektoren a →       u n d       b → definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

Rechengesetze für Vektoren

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Für beliebige (n-dimensionale) Vektoren sind eine Addition sowie eine Vervielfachung mit reellen Zahlen definiert. Spezielle Produkte von Vektoren sind das Skalarprodukt sowie im dreidimensionalen Raum das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Die Ergebnisse dieser Verknüpfungen können mithilfe der Koordinaten der zu verknüpfenden Vektoren berechnet werden.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025