Vektoren, Rechnen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Vektoren, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/vektoren-rechnen (Abgerufen: 30. July 2025, 22:50 UTC)

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Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow Für alle a_{i}, b_{i} gilt a_{i} = b_{i} .$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Vektorprodukt zweier Vektoren

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt $\vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b}$ definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

Rechengesetze für Vektoren

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Für beliebige (n-dimensionale) Vektoren sind eine Addition sowie eine Vervielfachung mit reellen Zahlen definiert. Spezielle Produkte von Vektoren sind das Skalarprodukt sowie im dreidimensionalen Raum das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Die Ergebnisse dieser Verknüpfungen können mithilfe der Koordinaten der zu verknüpfenden Vektoren berechnet werden.

Beweise unter Verwendung von Vektoren

Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen.
Bereits Addition und Vervielfachung von Vektoren können dabei sehr hilfreich sein, die Hinzunahme multiplikativer Verknüpfungen und deren Eigenschaften erschließen weitere Anwendungsmöglichkeiten. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.

Vektoren, Rechnen

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