Vektoren, Rechnen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Vektoren, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/vektoren-rechnen (Abgerufen: 03. July 2025, 02:28 UTC)

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Darstellung von Vektoren

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Es seien $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ Vektoren eines Vektorraumes V (mit $\vec{o}$ als dem Nullvektor).

Die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung $λ_{1} \vec{a_{1}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + ... + λ_{n} \vec{a_{n}} = \vec{o}$ nur für $λ_{1} = λ_{2} = ... = λ_{n} = 0$ erfüllt ist.
Anderenfalls heißen die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ linear abhängig.

Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow Für alle a_{i}, b_{i} gilt a_{i} = b_{i} .$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Vektorprodukt zweier Vektoren

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt $\vec{a} \times \vec{b}$ zweier Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b}$ definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

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