Betrag eines Vektors

• Der Betrag $\left|\overrightarrow{a}\right|$ eines Vektors $\overrightarrow{a}$ ist gleich der Länge der Strecke $\overline{AB}$ für einen beliebigen Repräsentanten $\overrightarrow{AB}$ von $\overrightarrow{a}$. Gilt also $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$, so ist $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|.$
  Im Spezialfall $\left|\overrightarrow{a}\right|=1$ nennt man $\overrightarrow{a}$ einen Einheitsvektor.

Wird ein Vektor durch einen Pfeil mit den Endpunkten $P_1\left(x_1;y_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2\right)$ in der Ebene bzw. $P_1\left(x_1;y_1;z_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2;z_2\right)$ im Raum beschrieben, so lässt sich sein Betrag mithilfe des Satzes des PYTHAGORAS aus seinen Koordinaten berechnen.

Es gilt dann:
$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}bzw.\\ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\end{array}$

• Beispiel 1: Ein Vektor $\overrightarrow{a}$ werde durch ein Pfeil mit den Endpunkten $P_1\left(3;6;-2\right)und{P}_2\left(-8;4;-6\right)$ beschrieben.

Dann gilt:
$\begin{array}{c}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-8-3\right)}^2+{\left(4-6\right)}^2+{\left(-6-\left(-2\right)\right)}^2}\\ =\sqrt{121+4+16}=\sqrt{141}\end{array}$

Aus der Definition des Betrages eines Vektors als Streckenlänge sowie der Ungleichung für die Seitenlängen eines Dreiecks ergeben sich weiter folgende Regeln für das Rechnen mit den Beträgen beliebiger Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}\text{:}$
$\begin{array}{l}(1)\left|\overrightarrow{a}\right|\ge 0\\ (2)\left|r\overrightarrow{a}\right|=\left|r\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|\\ (3)\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\le \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\end{array}$

Der Betrag eines Vektors $\overrightarrow{a}$ kann auch rein vektoriell ohne expliziten Rückgriff auf die Koordinaten der Endpunkte eines ihn repräsentierenden Pfeils berechnet werden. Wird der Vektor $\overrightarrow{a}$ als Ortsvektor bezüglich des Koordinatenursprungs O dargestellt, so ist mit
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)bzw.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)$
eine gerichtete Strecke gegeben, deren Länge gleich dem Betrag von $\overrightarrow{a}$ ist.

Durch Anwenden des Satzes des PYTHAGORAS im ebenen Fall und zweimaliges Anwenden dieses Satzes im räumlichen Fall erhält man für den Betrag des Vektors $\overrightarrow{a}$:
$\begin{array}{c}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}bzw.\\ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\end{array}$

Soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, der durch einen Pfeil $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ repräsentiert wird, so bestimmt man analog den Betrag des Vektors ${\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1$

Mit
${\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)bzw.{\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ \begin{array}{c}{y}_2-y_1\\ z_2-z_1\end{array}\end{array}\right)$
ergibt sich:
$\begin{array}{l}\left|{\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}bzw.\\ \left|{\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2}\end{array}$

$\left|{\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right|$ gibt dabei zugleich die Länge der Strecke $\overline{P_1{P}_2}$ an.

• Beispiel 2: Es ist der Betrag des Vektors $\overrightarrow{a}$ zu bestimmen, der durch den Pfeil mit den Endpunkten
  ${\overrightarrow{p}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -4\end{array}\right)und{p}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 7\end{array}\right)$
  repräsentiert wird.

Nach obiger Formel gilt:
$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|{\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right|\\ =\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(7-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{173}\end{array}$