Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

• Definition: Es sei $A=\left(a_{ik}\right)$ eine $\left(m\times n\right)\text{-}Matrix$ und $\overrightarrow{c}$ ein Vektor aus n Koordinaten.
  Dann versteht man unter ihrem Produkt $A\cdot \overrightarrow{c}$ einen Vektor $\overrightarrow{b}$ mit der Eigenschaft
  $A\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_1\\ \mathrm{...}\\ c_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{c}_1+a_{12}{c}_2+\mathrm{...}+a_{1n}{c}_n\\ \mathrm{...}\mathrm{...}\\ a_{m1}{c}_1+a_{m2}{c}_2+\mathrm{...}+a_{mn}{c}_n\end{array}\right).$
  Das heißt: Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor erfolgt in der Form „Zeile mal Spalte“. Das Ergebnis ist ein Vektor, dessen Koordinatenanzahl mit der Zeilenanzahl der Matrix übereinstimmt.

Anmerkung:
Um das Produkt ${\overrightarrow{d}}^T\text{‌}\cdot G$ bilden zu können, muss man analog voraussetzen, dass die Anzahl der Koordinaten des in Zeilenform geschriebenen Vektors ${\overrightarrow{d}}^T$ gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix G ist. Also gilt:
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{d}}^T\text{‌}\cdot G=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& \mathrm{...}& d_m\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& \mathrm{...}& g_{1n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ g_{m1}& \mathrm{...}& g_{mn}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}{d}_1{g}_{11}+d_2{g}_{21}+\mathrm{...}+d_m{g}_{m1}& \mathrm{...}& d_1{g}_{1n}+d_2{g}_{2n}+\mathrm{...}+d_m{g}_{mn}\end{array}\right)\end{array}$

In Folgenden soll an einem stark vereinfachten Beispiel aus dem Bereich der Meinungsforschung zum Problemkreis Wahlen die Anwendung der Matrizen unter Nutzung der oben erklärten Produktbildung demonstriert werden.

Beispiel: Es stehen drei Parteien X, Y und Z zur Auswahl, außerdem hat der Wähler die Möglichkeit, keine Stimme abzugeben (diese Wahlberechtigten bilden die Menge N). Die statistische Auswertung der letzten Wahl ergab die in der folgenden Tabelle dargestellt Verteilung:

Für die bevorstehende Wahl wird die im folgenden Bild dargestellte Wählerwanderung prognostiziert:

Die Wählerwanderung wird in folgender Matrix W erfasst:
$W=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,65}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)$

Für die Partei X würden also bei der kommenden Wahl 70% ihrer vorigen Wähler (35%), 10% der Wähler von Y (25%), 50% der Partei Z (20%) und 15% der bisherigen Nichtwähler (20%) stimmen. Das wären $\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,35}+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,4}\left(also40\%\right).$

In Matrizenschreibweise bedeutet diese Rechnung:
Der Zeilenvektor ${\overrightarrow{e}}^T$ des bisherigen Wahlergebnisses wird mit der Matrix der Wählerwanderung W von links multipliziert:
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{e}}^T\cdot W=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0,35}& \mathrm{0,25}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,05}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,65}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,15}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,3275}& \mathrm{0,1275}& \mathrm{0,145}\end{array}\right)\end{array}$

Das bedeutet: Bei der bevorstehenden Wahl würden wahrscheinlich 40% der Wahlberechtigten die Partei X, 32,75% die Partei Y, 12,75% die Partei Z wählen und 14,5% der Wahlberechtigten ihre Stimme nicht abgeben.

Der Politologe hat dieses mathematisch richtige Ergebnis zu interpretieren und aus den statistischen Werten die entsprechende Treffergenauigkeit anzugeben. Dafür stehen geeignete Verfahren der Statistik bereit, auf die hier allerdings nicht eingegangen werden kann.