Asymptoten (asymptotische Linien)

Wie das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für $x\to \pm \infty$ im Einzelnen aussieht, hängt vom Grad n der Zählerfunktion p(x) und vom Grad m der Nennerfunktion q(x) ab. Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

1. Fall: $n<m$

Sei $\text{f(x)}=\frac{\text{4x}}{{\text{x}}^{\text{2}}+\text{3}}$ mit $n=1$ und $m=2$ eine gebrochenrationale Funktion, die für alle $x\in ℝ$ definiert ist.

Um Aussagen über das „Grenzverhalten“ der Funktion f machen zu können, sind die Grenzwerte $\underset{\text{x}\to +\infty }{\text{lim}}\text{f(x)}\text{und}\underset{\text{x}\to -\infty }{\text{lim}}\text{f(x)}$ zu bilden. Es gilt:
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x}{x^2+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}=0und\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x}{x^2+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}=0$

In dem Fall ist also die x-Achse waagerechte Asymptote.

2. Fall: $n=m$

Gegeben sei die Funktion $\text{f(x)}=\frac{\text{3x}+\text{1}}{\text{x}+\text{1}}$.
Diese Funktion hat an der Stelle $x_0=-1$ eine Polstelle.

Für die Grenzwerte $\underset{\text{x}\to +\infty }{\text{lim}}\text{f(x)}\text{und}\underset{\text{x}\to -\infty }{\text{lim}}\text{f(x)}$ ergibt sich:
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x+1}{x+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=3$

Das heißt, die Gerade $y=3$ ist eine waagerechte Asymptote.

3. Fall: $n=m+1$

Bei der Funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2+x-2}{x+1}$ ist der Grad der Zählerfunktion um 1 größer als der Grad der Nennerfunktion.

Um eine genaue Aussage über das Verhalten von f(x) für $x\to \pm \infty$ machen zu können, dividiert man das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom, dadurch wird der Funktionsterm in eine Summe aus einem ganzrationalen und einem gebrochenrationalen Term zerlegt:
$\begin{array}{l}(x^2+x-2):(x+1)=x-\frac{2}{x+1}\\ \underset{¯}{-(x^2+x)}\\ 0 \end{array}$

Werden jetzt Betrachtungen zum Grenzwertverhalten der Funktion f durchgeführt, so erkennt man, dass sich die Funktionswerte von f für $x\to \pm \infty$ immer weniger von denen der Funktion $y=x$ unterscheiden, da der Term $\frac{\text{2}}{\text{x}+\text{1}}$ gegen null strebt.

Das heißt, die Gerade mit der Gleichung $y=x$ ist schiefe Asymptote.

4. Fall: $n>m+1$

Die Funktion $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-\text{1}}{\text{x}}$ ist für alle $x\ne 0$ definiert.
Durch Polynomdivision erhält man $\text{f}\left(\text{x}\right)={\text{x}}^{\text{3}}-\frac{\text{1}}{\text{x}}$.

Dann gilt für das Grenzwertverhalten:
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x^3-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^3-\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=\pm \infty$

Da der Term $\frac{1}{x}$ für $x\to \pm \infty$ gegen null strebt, wird der Unterschied der Funktionswerte von f(x) und denen von $y=x^3$immer kleiner. Das bedeutet aber, dass sich der Graph von f asymptotisch an den Graphen $y=x^3$ von nähert, er wird als asymptotische Kurve des Graphen$y=x^3$ von f bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich Folgendes feststellen:
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion der Form
$\text{f(x)}=\frac{{\text{a}}_{\text{n}}{\text{x}}^{\text{n}}+{\text{a}}_{\text{n}-\text{1}}{\text{x}}^{\text{n}-\text{1}}+\mathrm{...}+{\text{a}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{a}}_{\text{0}}}{{\text{b}}_{\text{m}}{\text{x}}^{\text{m}}+{\text{b}}_{\text{m}}{\text{x}}^{\text{m}-\text{1}}+\mathrm{...}+{\text{b}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{b}}_{\text{0}}}mit{a}_n,b_m\ne 0$
hat für $x\to \pm \infty$ im Falle

1. $n<m$ die x-Achse als waagerechte Asymptote;
2. $n=m$ die Gerade mit der Gleichung $\text{y}=\frac{{\text{a}}_{\text{n}}}{{\text{b}}_{\text{m}}}$ als waagerechte Asymptote;
3. $n=m+1$ eine schiefe Asymptote, deren Gleichung man durch Polynomdivision bestimmt.
4. $n>m+1$ eine asymptotische Linie als Näherungskurve, deren Gleichung man ebenfalls durch Polynomdivision bestimmt.