Definitionslücken

Um eine Vorstellung vom Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion zu gewinnen, ist neben der Kenntnis von Nullstellen das Verhalten der Funktion in der Umgebung vorhandener Definitionslücken von besonderem Interesse.
Für den Funktionsterm $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ sind dabei zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Fall: $q\left(x_0\right)=0undp\left(x_0\right)\ne 0$
   (Die Nennerfunktion ist an einer bestimmten Stelle gleich null, die Zählerfunktion ungleich null.)
2. Fall: $q\left(x_0\right)=0undp\left(x_0\right)=0$
   (Sowohl die Nennerfunktion als auch die Zählerfunktion sind an einer bestimmten Stelle gleich null.)

Polstellen

Wir betrachten zunächst den Fall 1.
Beispielsweise ist bei der Funktion $f(x)=\frac{x-3}{x-2}$ für $x_0=2$ die Nennerfunktion gleich null, die Funktion besitzt also an dieser Stelle eine Definitionslücke.
Die Zählerfunktion an der Stelle $x_0=2$ ist jedoch von null verschieden.
Man sagt, die Funktion hat an der Stelle $x_0=2$ eine Polstelle.

• $x_0$ heißt Pol oder Polstelle der Funktion $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$, wenn $q\left(x_0\right)=0undp\left(x_0\right)\ne 0$ gilt.

In der Umgebung einer Polstelle können gebrochenrationale Funktionen unterschiedliches Verhalten zeigen.

Zwei Beispiele sollen das im Folgenden verdeutlichen.

• Beispiel 1: $f(x)=\frac{4}{x^2}$

Die Funktion besitzt an der Stelle $x_0=0$ eine Polstelle.
Die y-Achse ist in diesem Fall die sogenannte Polgerade.

Bei links- und rechtsseitiger Annäherung an $x_0=0$ werden die Funktionswerte beliebig groß, d.h., für $x\to 0mitx<0$ gilt $f\left(x\right)\to +\infty$ und für $x\to 0mitx>0$ gilt ebenfalls $f\left(x\right)\to +\infty$. Die beiden „Äste“ des Graphen von f liegen auf derselben Seite der Abszissenachse.
Die Funktion f hat an der Stelle $x_0=0$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

• Beispiel 2: $\text{f(x)}=\frac{\text{1}}{\text{x}-\text{2}}$

Die Funktion besitzt an der Stelle $x_0=2$ eine Polstelle.
Die Gerade mit der Gleichung $x=2$ ist in diesem Fall Polgerade.
Nähert man sich der Polstelle von links $\left(x\to 2;x<2\right)$, dann werden die Funktionswerte beliebig klein $\left(f\left(x\right)\to -\infty \right)$. Bei Annäherung von rechts $\left(x\to 2;x>2\right)$ werden die Funktionswerte beliebig groß $\left(f\left(x\right)\to +\infty \right)$.
Die Funktion f hat an der Stelle $x=2$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

• Ist $x_0$ Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion f, so gilt:
  $f\left(x\right)\to +\infty bzw.f\left(x\right)\to -\infty fürx\to x_0$
  Die Gerade (Polgerade) mit der Gleichung $x=x_0$ nennt man auch senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion f.

Hebbare Definitionslücken

Die Funktion $f(x)=\frac{2x}{x(x-2)}$ besitzt für $x_0=0und{x}_1=2$ Definitionslücken.
Für $x_0=0$ sind sowohl die Nennerfunktion als auch die Zählerfunktion gleich null.
Die Stelle $x_0=0$ ist daher keine Polstelle.

Der Punkt $\left(0;-1\right)$ gehört nicht zum Graphen der Funktion. Der Graph besteht aus zwei Hyperbelästen mit einem „Loch“. Kürzt man aus dem Funktionsterm den Faktor x (bzw. allgemein $x-x_0$), dann erhält man eine neue Funktion $\text{g(x)}=\frac{\text{2}}{\text{x}-\text{2}}$, die an der Stelle $x_0=0$ stetig ist.

Man sagt: Die Funktion f ist an der Stelle $x_0$ stetig fortsetzbar bzw. die Definitionslücke $x_0$ der Funktion f ist hebbar (Rechenbeispiel).

Anmerkungen: An der Stelle $x_1=2$ besitzt f (wie leicht nachprüfbar ist) eine Polstelle.

Die „Ersatzfunktion“ g kann auch in der folgenden Form geschrieben werden:
$g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{2}{x\cdot \left(x-2\right)}& fürx\ne 0\\ -1& fürx=0\end{array}$
Sie ist (im Gegensatz zu f) eine im gesamten Definitionsbereich stetige Funktion.