Die cardanische Formel

Die kubische Gleichung (oder Gleichung dritten Grades) hat folgende allgemeine Form:
$A{x}^3+B{x}^2+Cx+D=0\left(A\ne 0\right)$
Nach Division durch A ergibt sich daraus:
$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine kubische Gleichung genau drei Lösungen.

Für praktische Anwendungen hat die cardanische Formel allerdings wenig Bedeutung, die Beschäftigung mit ihr vermittelt aber Eindrücke vom mathematischen Herangehen an das Lösen von Gleichungen.

Die Herleitung der Lösungsformel ist sehr kompliziert und kann hier nur angedeutet werden. Durch die Substitution $x=z-\frac{a}{3}$ erhält man eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der (im Unterschied zur Originalgleichung) aber das quadratische Glied fehlt. Das heißt, aus
${\left(z-\frac{a}{3}\right)}^3+a{\left(z-\frac{a}{3}\right)}^2+b\left(z-\frac{a}{3}\right)+c=0$

ergibt sich nach Ausführen der Multiplikationen und Zusammenfassen:
$\begin{array}{l}{z}^3+pz+q=0\\ \text{mit}\text{p}=b-\frac{a^2}{3}\text{und}\text{q}=\frac{ab}{3}-\frac{2}{27}{a}^3-c\end{array}$

Auf diese reduzierte Form der kubischen Gleichung bezieht sich die folgende cardanische Lösungsformel :
$z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+\frac{p^3}{27}}}$
Daraus ergibt sich x, nämlich durch $x=z-\frac{a}{3}$.

• Beispiel 1: $x^3-2x-4=0$

In dieser kubischen Gleichung fehlt (bereits) das quadratische Glied. Das Einführen einer neuen Unbekannten ist also nicht erforderlich, die Lösungsformel kann unmittelbar eingesetzt werden.

Es ist $p=-2undq=-4$ und somit folgt:
$\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{2+\sqrt{4+{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{4+{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}}\\ \approx \sqrt[3]{2+\sqrt{\mathrm{3,703}704}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{\mathrm{3,703}704}}\\ \approx \mathrm{1,577}350+\mathrm{0,422}649\\ \approx \mathrm{1,999}999\end{array}$
Die exakte Lösung ist $x=2$.

Durch die Polynomdivision $\left(x^3+2x-4\right):\left(x-2\right)$ erhält man das quadratische Polynom $x^2+2x+2=0$, womit die Bestimmung der beiden weiteren Lösungen der kubischen Gleichung auf das Lösen einer quadratischen Gleichung zurückgeführt ist. Da $x^2+2x+2=0$ keine reellen Lösungen besitzt, hat also die gegebene kubische Gleichung in der Menge der reellen Zahlen nur die oben ermittelte Lösung $x=2$.

• Beispiel 2: $x^3-6x^2+11x-6=0$

Mit $a=-6$ und der Substitution $x=z+2$ ergibt sich:
$\begin{array}{l}{\left(z+2\right)}^3-6{\left(z+2\right)}^2+11\left(z+2\right)-6=0\\ z^3-z=0\end{array}$

Das ließe sich nun einfach durch Produktdarstellung lösen, aus $z\left(z^2-1\right)=z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=0$ erhielte man $z_1=\mathrm{0,}{z}_2=1\text{und}{z}_3=-1$, woraus wegen $x=z+2$ folgt:
$x_1=\mathrm{2,}{x}_2=3und{x}_3=1$

Wir wollen trotzdem für die kubische Gleichung $z^3-z=0$ die Lösungsformel anwenden (wobei $p=-1undq=0$ ist):
$\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{0+\sqrt{0+{\left(\frac{-1}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{0-\sqrt{0+{\left(\frac{-1}{3}\right)}^3}}\\ \approx \sqrt[3]{0+\sqrt{\mathrm{0,037}037}}+\sqrt[3]{0-\sqrt{\mathrm{0,037}037}}\end{array}$

Die Formel versagt im Reellen! Um hier weiterzumachen, müsste der Bereich der reellen Zahlen verlassen werden, was aber im Allgemeinen nicht Gegenstand der Schulmathematik ist.