Hypergeometrische Verteilung

Werden einer Urne mit genau N Kugeln (davon M weiße und $N-M$ rote) genau n Kugeln „auf gut Glück“ entnommen und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der dabei herausgegriffenen weißen Kugeln an, so ist X binomialverteilt, wenn die Entnahme mit Zurücklegen erfolgt. In diesem Fall gilt:
$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{M}{N}\right)}^k\cdot {\left(\frac{N-M}{N}\right)}^{n-k}$

Werden die n Kugeln ohne Zurücklegen entnommen, so ist X hypergeometrisch verteilt und es gilt:
$P\left(X=m\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}M\\ m\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}N-M\\ n-m\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}$

Dies ergibt sich aus nachstehenden Überlegungen:
(1) Die Kugelentnahme erfolgt „auf gut Glück“, woraus nach der LAPLACE-Formel der entsprechende resultiert.
(2) Die Entnahme ohne Zurücklegen bedingt ein Zählprinzip ohne Wiederholung.
(3) Da für die Zufallsgröße X nur die Anzahl der weißen Kugeln von Interesse ist, bleibt bei der Entnahme der Kugeln ihre Reihenfolge unbeachtet, was dem Zählprinzip für Mengen mittels Binomialkoeffizienten entspricht. Es gibt

• $\left(\begin{array}{c}M\\ m\end{array}\right)$ Möglichkeiten, aus M weißen Kugeln genau m ohne Beachtung der Reihenfolge zu entnehmen;
• $\left(\begin{array}{c}N-M\\ n-m\end{array}\right)$ Möglichkeiten, aus den verbleibenden N – M roten Kugeln die noch benötigten genau n – m ohne Beachtung der Reihenfolge zu entnehmen;
• $\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)$ Möglichkeiten, aus N Kugeln genau n ohne Beachtung der Reihenfolge zu entnehmen.

Das führt auf die folgende Definition der hypergeometrischen Verteilung.

• Definition: Eine endliche Zufallsgröße X mit den Werten 0; 1; 2; ...; M heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt:
  $\begin{array}{l}P\left(X=m\right)=H_{N;M;n}\left(\left\{m\right\}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}M\\ m\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}N-M\\ n-m\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\\ (mitN,M,n,m\in \mathbb{N};M\le N;n\le Nund\\ \max \left\{0;n+M-N\right\}\le m\le \min \left\{n;M\right\})\end{array}$

Die hypergeometrische Verteilung genügt dem kolmogorowschenschen Axiomensystem.
Anhand der folgenden Abbildung kann man sich eine Vorstellung vom grafischen Verlauf der hypergeometrischen Verteilung verschaffen.

Ein Vergleich verschiedener grafischer Darstellungen legt die Vermutung nahe, dass für $n\ll N$ (n sehr viel kleiner als N) eine Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch eine Binomialverteilung möglich ist.

Es gilt in der Tat:
$\underset{\begin{array}{l}N\to \infty \\ \frac{M}{N}\to p=const.\end{array}}{\lim }{H}_{N;M;n}\left(\left\{m\right\}\right)=B_{n;p}\left(\left\{m\right\}\right)$

Das eröffnet die Möglichkeit, die Entnahme einer kleinen Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer großen Grundgesamtheit durch die Entnahme einer Stichprobe mit Zurücklegen zu modellieren. Für die Anwendung der entsprechenden Näherungsformeln haben sich die Faustregeln $\mathrm{0,1}<\frac{M}{N}<\mathrm{0,9}$ und $10<n<\mathrm{0,05}\cdot N$ als sinnvoll erwiesen.

Die Kenngrößen Erwartungswert und Streuung einer hypergeometrisch verteilten Zufallsgröße X lassen sich wie folgt berechnen:
$\begin{array}{l}EX=n\cdot \frac{M}{N}\\ D^{2}X=\frac{M\cdot n\cdot \left(N-M\right)\cdot \left(N-n\right)}{N^2\cdot \left(N-1\right)}=n\cdot \frac{M}{N}\cdot \left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot \frac{N-n}{N-1}\end{array}$

Bevorzugtes Anwendungsgebiet der hypergeometrischen Verteilung ist die statistische Qualitätskontrolle. Dazu trägt auch bei, dass bei der Qualitätskontrolle ein Zurücklegen des kontrollierten Teils verschiedentlich nicht möglich ist, weil das Teil nach der Qualitätskontrolle funktionsunfähig ist.
Wir betrachten dazu ein Beispiel.

• Beispiel: Eine Warenlieferung von genau 100 T-Shirts enthält genau zehn, deren Nähte unzureichende Qualität aufweisen.
  Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter fünf dieser Lieferung entnommener T-Shirts genau eines mit einem derartigen Defekt? Wie viele T-Shirts mit einem derartigen Defekt sind unter fünf entnommenen zu erwarten?

Lösung:
Die T-Shirt-Entnahme erfolge „auf gut Glück“ und „ohne Zurücklegen“ (Modellannahme). Als Zufallsgröße X werde die zufällige Anzahl der defekten unter fünf entnommenen T-Shirts mit $X\sim H_{100;10;5}$ betrachtet. Dann ist:
$\begin{array}{l}P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}90\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}100\\ 5\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,34}\\ EX=n\cdot \frac{M}{N}=5\cdot \frac{10}{100}=\mathrm{0,5}\end{array}$
Auf lange Sicht gesehen ist das arithmetische Mittel der Anzahl der defekten T-Shirts in der Stichprobe 0,5.