Integration durch nichtlineare Substitution

• Satz: Es sei $f\left(x\right)=v\left(u\left(x\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)$ und V eine Stamfunktion von v. Dann ist F mit $F\left(x\right)=V\left(u\left(x\right)\right)$ eine Stammfunktion von f:
  ${\displaystyle \int f\left(x\right)}dx={\displaystyle \int v\left(u\left(x\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)dx=V\left(u\left(x\right)\right)}+C=F\left(x\right)+C$

Beispiel 1:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int 2x\cdot e^{x^2}dx}={\displaystyle \int e^z}dzSubstitution\text{:}z=x^2\\ =e^z+C=e^{x^2}+C\frac{dz}{dx}=2x,alsodx=\frac{dz}{2x}\end{array}$

Beispiel 2:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}4x\sqrt{2x^2-1}}dx={\left[\frac{2}{3}\sqrt{{\left(2x^2-1\right)}^3}\right]}_1^{4}Substitution\text{:}z=2x^2\\ =\frac{2}{3}\left(31\sqrt{31}-1\right)\approx \mathrm{114,4}\frac{dz}{dx}=4x,alsodx=\frac{dz}{4x}\end{array}$

Beispiel 3:

${\displaystyle \int \sin x\cdot \cos xdx}$=

1. Lösungsweg:
Da cos x die Ableitung von sin x ist, substituiert man z = sin x, woraus $\frac{dz}{dx}=\cos xunddx=\frac{dz}{\cos x}$ folgt.
Damit gilt: ${\displaystyle \int \sin x\cdot \cos xdx}={\displaystyle \int zdz=\frac{1}{2}}{z}^2+C=\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C$

2. Lösungsweg:
Man kann ebenso -sin x als Ableitung von cos x auffassen und setzt
z = cos x. Damit gilt: $\frac{dz}{dx}=-\sin xunddx=\frac{-dz}{\sin x}$-.
Also: ${\displaystyle \int \sin x\cdot \cos xdx}=-{\displaystyle \int zdz=-\frac{1}{2}}{z}^2+C=-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C$

Die Probe durch Differenzieren zeigt die Richtigkeit auch dieser zweiten Lösung.
Unter Verwendung der Beziehung ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ lässt sich zeigen, dass die beiden Lösungen identisch sind.

Beispiel 4:

${\displaystyle \int \frac{3x}{1+x^2}}dx=$
Durch die Umformung ${\displaystyle \int \frac{3x}{1+x^2}}dx=\frac{3}{2}{\displaystyle \int \frac{2x}{1+x^2}}dx$ steht im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenners.

Deshalb bietet sich die Substitution $z=1+x^{2}an,worausdz=2xdxfo\lg t.$

Damit gilt:
${\displaystyle \int \frac{3x}{1+x^2}}dx=\frac{3}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{z}}dz=\frac{3}{2}\ln \left|z\right|+C=\frac{3}{2}\ln \left(1+x^2\right)+C$

Spezialfall der Substitutionsregel

Ist die Zählerfunktion des Integranden die Ableitung der Nennerfunktion, wie in Beispiel 4, lässt sich dies zu folgender Methode verallgemeinern.

• Es gilt als Spezialfall der Substitutionsregel:
  $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}}dx=\ln \left|f\left(x\right)\right|+C\\ (dennmitz=f\left(x\right)erhältmandz=f\text{'}\left(x\right)dxunddamit\\ {\displaystyle \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}}dx={\displaystyle \int \frac{dz}{z}}=\ln \left|z\right|+C=\ln \left|f\left(x\right)\right|+C)\end{array}$
  Diese Regel wird manchmal auch als „logarithmisches Integrieren“ bezeichnet.

Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Form
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(u\left(x\right)\right)}\cdot u\text{'}\left(x\right)dx$
kann man in der Resultatsangabe anstelle der Stammfunktion $V\left(u\left(x\right)\right)$ auch die Stammfunktion $V\left(z\right)mitz=u\left(x\right)$ verwenden, d. h. man braucht nicht wieder „zu resubstituieren“, wenn gleichzeitig die Integrationsgrenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzt werden.

Beispiel 5:
$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{\sin x}\cdot \cos xdx={\displaystyle \underset{\sin 0}{\overset{\sin \frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{z}dz}}Substitution:z=\sin x,also\\ dz=\cos xdx\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{z}dz={\left[e^z\right]}_0^1}=e-1\approx \mathrm{1,718}\end{array}$