Krümmung und Wendepunkt

Anhand der grafischen Darstellung der Funktion sowie ihrer 1. und 2. Ableitung erkennt man für die Art der Krümmung folgende typischen Eigenschaften:

An der Wendestelle $x_w$ bzw. dem zugehörigen Wendepunkt $W(x_w;f(x_w))$ ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Tritt bei dem Graphen von f ein Wechsel von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt auf, so hat die 1. Ableitung von f in der Wendestelle $x_w$ ein lokales Minimum.

Erfolgt jedoch der Wechsel von links- nach rechtsgekrümmt, so hat die 1. Ableitung entsprechend ein lokales Maximum.

Verallgemeinert man diese Aussage, so ist eine Wendestelle dadurch gekennzeichnet, dass die 1. Ableitung an dieser Stelle ein Extremum haben muss.
Mögliche Wendestellen liegen also immer an denjenigen Stellen vor, an denen die 2. Ableitung Nullstellen besitzt.

Für die Existenz einer Wendestelle gilt folgende hinreichende Bedingung:

• Eine Funktion f sei in ihrem Definitionsbereich dreimal differenzierbar.
  Gilt für eine Stelle $x_w$ des Definitionsbereiches $f^{″}(x_w)=0und{f}^{‴}(x_w)\ne \mathrm{0,}$ so hat f an der Stelle $x_w$ eine Wendestelle.

Es gibt Wendestellen $x_w,$ für die außerdem $f^{\prime }(x_w)=0$ gilt, wo also die Tangente an den Graphen von f parallel zur x-Achse verläuft. Man nennt solche Wendepunkte Sattelpunkte, Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte.

Unter einer Wendetangente versteht man diejenige Tangente, die den Graphen von f in ihrem Wendepunkt durchsetzt und somit die Kurventeile mit unterschiedlichem Krümmungssinn voneinander trennt.

Im folgenden Beispiel soll das Vorgehen bei der Untersuchung des Krümmungsverhaltens eines Funktionsgraphen gezeigt werden:

• Beispiel: $f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-3x^3+6x^2-4x+2$

Bilden der ersten drei Ableitungen:
$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=2x^3-9x^2+12x-4\\ f^{″}(x)=6x^2-18x+12\\ f^{‴}(x)=12x-18\end{array}$

Die Nullstellen der 2. Ableitung erhält man aus $0=6x^2-18x+12zu{x}_1=1und{x}_2=2.$
Da $f^{‴}(1)=-6\ne 0und{f}^{‴}(2)=6\ne 0$ ist, existieren bei $x_{1}und{x}_2$ tatsächlich Wendestellen.

Die Wendepunkte erhält man, indem die Wendestellen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden:
$\begin{array}{l}f(1)=\mathrm{1,5}\Rightarrow W_1(1;\mathrm{1,5})\\ f(2)=2\Rightarrow W_2(2;2) \end{array}$

Für die Anstiege der Wendetangenten gilt:
$m_1=f^{\prime }(1)=1und{m}_2=f^{\prime }(2)=0$
(Da der Anstieg des Graphen an der Wendestelle $x_2$ gleich null ist, ist $W_2$ ein Sattelpunkt.)

Nach Einsetzen der Koordinaten der Wendepunkte und des Anstiegs in die Geradengleichung $y=mx+n$ erhält man die Gleichungen für die Wendetangenten:
$\begin{array}{l}{t}_1:y=1x+\mathrm{0,5}\\ t_2:y=2\end{array}$