Normalenvektoren einer Geraden in der Ebene

Alle diese Normalenvektoren haben dieselbe Richtung und sind damit parallel zueinander, unterscheiden sich jedoch im Richtungssinn und im Betrag.

Aufgrund der eindeutig bestimmten Richtung eines Normalenvektors zu einer Geraden in der Ebene wird auch umgekehrt in der Ebene durch einen gegebenen Punkt $P_0$ und durch einen gegebenen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ eine Gerade eindeutig bestimmt, die durch $P_0$ geht und senkrecht zu $\overrightarrow{n}$ ist.

Für Abstandsprobleme wird oft ein Normaleneinheitsvektor ${\overrightarrow{n}}^0$ verwendet, da dieser den Betrag 1 hat und sich damit zu Längenvergleichen anbietet.
Ist $\overrightarrow{n}$ ein beliebiger Normalenvektor einer Geraden g in der Ebene, so erhält man den zugehörigen Normaleneinheitsvektor, indem man den Normalenvektor durch seinen Betrag dividiert:
${\overrightarrow{n}}^0=\frac{\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Zu jeder Geraden in der Ebene gibt es genau zwei Normaleneinheitsvektoren, die sich nur im Richtungssinn unterscheiden.

• Ist eine Gerade g in der Ebene durch ax + by + d = 0 gegeben, so ist
  $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$
  ein Normalenvektor von g.

Ist eine Gerade g in der Ebene durch $\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\overrightarrow{a}$ gegeben, so kann man aus den Koordinaten des Richtungsvektors
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$
einen Normalenvektor von g bestimmen:
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right)$.

Für diese beiden Vektoren gilt nämlich $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right)=-a_x\cdot a_y+a_y\cdot a_x=0$.

Senkrechte Vektoren zu einer Geraden g im Raum werden nicht besonders hervorgehoben und können (im Unterschied zu einer Geraden der Ebene) auch nicht mit einem einheitlichen geschlossenen Ausdruck bezüglich der Geraden g beschrieben werden. Die folgende Abbildung zeigt, dass sich solche Vektoren nicht nur im Betrag und im Richtungssinn, sondern auch in der Richtung unterscheiden.