Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene auf das einfachere Problem des Schnittwinkels von zwei Geraden im Raum zurückgeführt.

Hat die Ebene $\epsilon$ die Gleichung $\epsilon :\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}$, so ist $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ ein Normalenvektor von $\epsilon$. Ist die Gleichung von $\epsilon$ in der Koordinatenschreibweise, also $ax+by+cz+d=0$, angegeben, dann gilt
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$.

Unter Verwendung der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen $\overrightarrow{n}$ und $g:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_1+t\overrightarrow{a}$ angeben:

• $\cos \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\left|\left(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right)\cdot \overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|}$

Da $\varphi =90°-\alpha$ ist, kann man auch schreiben:

• $\sin \varphi =\frac{\left|\left(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right)\cdot \overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|}(mit0°\le \varphi \le 90°)$

Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$
und der xy-Ebene zu ermitteln.

Da jeder Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der xy-Ebene in z-Richtung weist, also z.B. die Gleichung
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
besitzt, gilt für den gesuchten Schnittwinkel
$\sin \varphi =\frac{\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\right|}=\frac{1}{1\cdot \sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}\approx \mathrm{0,2672}$ und damit $\varphi \approx \mathrm{15,5}°$.

Beispiel 2: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 7\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)$
und der Ebene
$\epsilon :\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ 3\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$
zu ermitteln.

Mit
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -7\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 16\end{array}\right)$
erhält man nach obiger Formel
$\sin \varphi =\frac{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 16\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 16\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)\right|}=\frac{37}{\sqrt{306}\cdot \sqrt{29}}\approx \mathrm{0,3928}$ und damit $\varphi \approx \mathrm{23,13}°$.