Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

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$a > 1$	Parabel ist gestreckt.
$0 < a < 1$	Parabel ist gestaucht.
$- 1 < a < 1$	Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
$a < - 1$	Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.

Die Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2}$ besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt $S (0; 0)$ .

Beispiel 1: Graphen von $y = f (x) = a x^{2}$ für verschiedene Werte von a

x	– 2	–1	1	2
$y = f_{1} (x) = x^{2}$	4	1	1	4
$y = f_{2} (x) = 2 x^{2}$	8	2	2	8
$y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2}$	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	2
$y = f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$	– 2	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	– 2
$y = f_{5} (x) = - 2 x^{2}$	– 8	– 1	– 1	– 8

Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 1$ zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a [(x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + (- {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a})] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x^{2} + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}$
Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
$S (- \frac{b}{2 a}; \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

Beispiel 2: Graphen von $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ für verschiedene Werte von a

$\begin{array}{l} y = f_{1} (x) = 2 x^{2} - 4 x = 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = 2 {(x - 1)}^{2} - 2 \\ \Rightarrow S (1; - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 4 x = - 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2 \\ \Rightarrow S (1; 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x = \frac{1}{2} [{(x - 1)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S (1; - \frac{1}{2}) \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/streckung-stauchung-und-spiegelung-von-graphen (Abgerufen: 20. May 2025, 20:50 UTC)

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Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x \to \pm \infty$ gilt $| f (x) | = + \infty$ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

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Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
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Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
$y = f (x) = m x + n (m, n \in ℝ)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich $(m, n \neq 0)$ gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c))$ beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

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