Additionstheoreme

Als Additionstheoreme für Winkelfunktionen werden Formeln bezeichnet, durch die die Funktionswerte von Summen und Differenzen von Winkeln auf die Werte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel zurückgeführt werden.

Sinus der Summe bzw. Differenz zweier Winkel

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

Für Winkel zwischen $0°und90°$ ergibt sich obige Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel mithilfe nachstehend angeführter Überlegungen am Einheitskreis.

Es ist $\sin \left(\alpha +\beta \right)=x+y$. Aus $\overline{AB}\perp \overline{OA}$ und $\overline{BD}\perp \overline{OD}$ folgt:
$\sphericalangle ABD=\alpha$
Dann ist $\overline{BD}=\sin \beta$ und $\overline{OD}=\cos \beta$. Für y gilt somit:
$\frac{y}{\overline{BD}}=\frac{y}{\sin \beta }=\cos \alpha$
bzw.
$y=\cos \alpha \sin \beta$
Entsprechend ergibt sich für x:
$\frac{x}{\overline{OD}}=\frac{x}{\cos \beta }=\sin \alpha$
bzw.
$x=\sin \alpha \cos \beta$
Zusammengefasst:
$\sin \left(\alpha +\beta \right)=x+y=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
Für $\alpha =\beta$ ergibt sich der Sinus des doppelten Winkels wie folgt:
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

Eine Formel für den Sinus der Differenz zweier Winkel kann man anhand folgender Überlegungen gewinnnen.

Es gilt:
$\begin{array}{l}\overline{OB}=1;\overline{CE}=x;\overline{CD}=y;\overline{BA}=\sin \left(\alpha -\beta \right)=x-y\\ \overline{OC}=\cos \beta ;\overline{BC}=\sin \beta \end{array}$
Weiter ist:
$\sin \alpha =\frac{\overline{CE}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CE}}{\cos \beta }$ bzw. $x=\overline{CE}=\sin \alpha \cos \beta$
$\cos \alpha =\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CD}}{\sin \beta }$ bzw. $y=\overline{CD}=\cos \alpha \sin \beta$
Zusammengefasst:
$\sin \left(\alpha -\beta \right)=x-y=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
Anmerkung: Man kommt zu diesem Theorem auch, wenn man in die Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel $\beta$ durch $-\beta$ ersetzt und berücksichtigt, dass $\cos \left(-\beta \right)=\cos \beta$ und $\sin \left(-\beta \right)=-\sin \beta$ ist.

Kosinus und Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel

Für den Kosinus der Summe bzw. Differenz zweier Winkel kann man die folgende Beziehung herleiten:
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Da $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\left(für\cos \alpha \ne 0\right)$ gilt, ergibt sich für den Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel
$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{\sin \left(\alpha \pm \beta \right)}{\cos \left(\alpha \pm \beta \right)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$,
was nach Kürzen durch $\cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \ne 0;\cos \beta \ne 0)$ auf die Form
$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
führt.

Weitere Beziehungen

Aus diesen Formeln lassen sich einige weitere Beziehungen folgern, die beim Umformen trigonometrischer Ausdrücke (z. B. in goniometrischen Gleichungen) nützlich sind:
$\begin{array}{l}\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }\\ \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}$
bzw.
$\begin{array}{l}\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ \cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha \end{array}$
Weiter ist:
$\begin{array}{l}1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}\\ 1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\end{array}$

Beispiel (aus der Elektrotechnik):
Die Beziehung $\sin \varphi +\sin \left(\varphi +120°\right)+\sin \left(\varphi +240°\right)=0$ erhält man durch einfache Umformungen bei Anwendung obiger Beziehungen.