Additionstheoreme für Winkelfunktionen

Sinus der Summe zweier Winkel

• Für den Sinus der Summe zweier Winkel gilt:
  $\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

Für Winkel zwischen $0°$ und $90°$ ergibt sich die Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel mithilfe nachstehend angeführter Überlegungen am Einheitskreis.

Es ist $\sin \left(\alpha +\beta \right)=x+y$.
Aus $\overline{AB}\perp \overline{OA}$ und $\overline{BD}\perp \overline{OD}$ folgt:
$\sphericalangle ABD=\alpha$
Dann ist $\overline{BD}=\sin \beta$ und $\overline{OD}=\cos \beta$. Für $y$ gilt somit:
$\frac{y}{\overline{BD}}=\frac{y}{\sin \beta }=\cos \alpha$
bzw.
$y=\cos \alpha \sin \beta$
Entsprechend ergibt sich für $x$:
$\frac{x}{\overline{OD}}=\frac{x}{\cos \beta }=\sin \alpha$
bzw.
$x=\sin \alpha \cos \beta$
Zusammengefasst:
$\sin \left(\alpha +\beta \right)=x+y=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
Für $\alpha =\beta$ ergibt sich der Sinus des doppelten Winkels wie folgt:
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

Sinus der Differenz zweier Winkel

• Für den Sinus der Differenz zweier Winkel gilt:
  $\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

Die Formel für den Sinus der Differenz zweier Winkel kann man anhand der folgenden Abbildung gewinnnen.

Es gilt:
$\begin{array}{l}\overline{OB}=1;\overline{CE}=x;\overline{CD}=y;\overline{BA}=\sin \left(\alpha -\beta \right)=x-y\\ \overline{OC}=\cos \beta ;\overline{BC}=\sin \beta \end{array}$
Weiter ist:
$\sin \alpha =\frac{\overline{CE}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{CE}}{\cos \beta }$ bzw. $x=\overline{CE}=\sin \alpha \cos \beta$
$\cos \alpha =\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CD}}{\sin \beta }$ bzw. $y=\overline{CD}=\cos \alpha \sin \beta$
Zusammengefasst:
$\sin \left(\alpha -\beta \right)=x-y=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
Anmerkung: Man kommt zu diesem Theorem auch, wenn man in die Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel $\beta$ durch $-\beta$ ersetzt und berücksichtigt, dass $\cos \left(-\beta \right)=\cos \beta$ und $\sin \left(-\beta \right)=-\sin \beta$ ist.

Kosinus und Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel

Für den Kosinus der Summe bzw. Differenz zweier Winkel kann man die folgende Beziehung herleiten:
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Da $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\left(für\cos \alpha \ne 0\right)$ gilt, ergibt sich für den Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel
$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{\sin \left(\alpha \pm \beta \right)}{\cos \left(\alpha \pm \beta \right)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$,
was nach Kürzen durch $\cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \ne 0;\cos \beta \ne 0)$ auf die Form
$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
führt.

Weitere Beziehungen

Aus diesen Formeln lassen sich einige weitere Beziehungen folgern, die beim Umformen trigonometrischer Ausdrücke (z.B. in goniometrischen Gleichungen) nützlich sind:
$\begin{array}{l}\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }\\ \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}$

bzw.
$\begin{array}{l}\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ \cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha \end{array}$

Weiter ist:
$\begin{array}{l}1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}\\ 1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\end{array}$

• Beispiel aus der Elektrotechnik:
  Die Beziehung $\sin \varphi +\sin \left(\varphi +120°\right)+\sin \left(\varphi +240°\right)=0$ erhält man durch einfache Umformungen bei Anwendung obiger Beziehungen.

In einem allgemeineren Sinn versteht man unter einem Additionstheorem eine Funktionalgleichung $F\left(X,Y,Z\right)=0$, wenn es für $X$, $Y$ und $Z$ eine Funktion $f$ gibt, so dass $X=f\left(x\right),Y=f\left(y\right)$ und $Z=f\left(x+y\right)$ ist.