Goniometrische Gleichungen mit mehreren Winkelfunktionen

Für spezielle Gleichungen lassen sich Lösungen auf direktem Wege ermitteln. Ansonsten müssen Näherungsverfahren (Sekantennäherungsverfahren, Tangentennäherungsverfahren, allgemeines Iterationsverfahren) eingesetzt werden.

Tritt die Variable (Unbekannte) als Argument von verschiedenen Winkelfunktionen auf, so versuche man so umzuformen, dass die Gleichung auf eine solche mit nur einer Winkelfunktion reduziert wird. Bei diesen Umformungen hilft oft eine der Beziehungen ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ („trigonometrischer Pythagoras“) bzw. $\tan x\cdot \cot x=1$.

• Beispiel 1: $3{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$

Im Folgenden wird ein Lösungsweg kurz demonstriert:
$\begin{array}{l}3{\cos }^{2}x=1-{\cos }^{2}x\\ 4{\cos }^{2}x=1\\ \left|\cos x\right|=\frac{1}{2}\end{array}$

Hieraus ergeben sich als Lösungen im Intervall $0°\le x<360°$:
$x_1=60°;x_2=120°;x_3=240°;x_4=300°$

Nachstehende Skizze veranschaulicht diese Lösungen.

Weitere Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich aus der Periodizität der Winkelfunktionen. Ein anderer Lösungsweg für das Beispiel 1 wäre das folgende Vorgehen (für $\sin x\ne 0$):
$\begin{array}{l}\frac{3{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=3{\cot }^{2}x=1\\ \left|\cot x\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}$

• Beispiel 2: $2\sin x=cox-1$

Quadrieren und Anwenden des „trigonometrischen Pythagoras“ ergibt:
$\begin{array}{l}4{\sin }^{2}x={\left(\cos x-1\right)}^2\\ 4\left(1-{\cos }^{2}x\right)={\cos }^{2}x-2\cos x+1\end{array}$

Zusammenfassen und die Substitution $\cos x=z$ führen auf die quadratische Gleichung $5z^2-2z-3=0$mit den Lösungen $z_1=1und{z}_2=-\mathrm{0,6}$.
Hieraus ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Ausgangsgleichung $x_1=0°$ sowie $x_2\approx \mathrm{126,9}°und{x}_3\approx \mathrm{233,1}°$.
Die wegen der nichtäquivalenten Umformung notwendige Probe zeigt allerdings, dass $x_2$ keine Lösung ist.

Lösen goniometrischer Gleichungen durch Einführen eines Hilfswinkels

Goniometrische Gleichungen der Form $a\sin x+b\cos x=c$ lassen sich durch Einführen eines Hilfswinkels lösen. Dabei geht man wie folgt vor: Für $a\ne 0$ erhält man nach Division
$\sin x+\frac{b}{a}\cos x=\frac{c}{a}$.

In dieser Gleichung wird nun die Konstante $\frac{b}{a}$ als Tangens eines Winkels aufgefasst, also etwa $\frac{b}{a}=\tan \varphi$, woraus nach Multiplikation mit $\cos \varphi$ zunächst
$\sin x\cos \varphi +\sin \varphi \cos x=\frac{c}{a}\cos \varphi$
und nach Anwenden eines Additionstheorems
$\sin \left(x+\varphi \right)=\frac{c}{a}\cos \varphi$
folgt. Weil $\varphi$ bekannt ist, ist damit die Unbekannte bestimmt.

• Beispiel 3: $2\sin x-2\sqrt{3}\cos x=1$

Division durch 2 liefert $\sin x-\sqrt{3}\cos x=\mathrm{0,5}$, so dass wegen $-\sqrt{3}=\tan \left(-60°\right)$ folgt: $\sin \left(x+60°\right)=\mathrm{0,5}\cos \left(-60°\right)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,25}$
Hieraus ergeben sich im Intervall $0°\le x<360°$ die folgenden Lösungen:
$x_1\approx \mathrm{74,5}°;x_2\approx \mathrm{225,5}°$

Prinzipiell empfiehlt sich für das Lösen goniometrischer Gleichungen folgendes Herangehen:

1. Umformen der gegebenen Gleichung mithilfe von Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen so, dass nur ein Funktionstyp des gleichen Arguments auftritt
2. Einschränken der Lösungsmenge auf ein Intervall
3. Durchführen der Probe, insbesondere bei nicht äquivalenten Umformungen