Berühmte mathematische Sätze

Die Mathematik stellt ein vielfältig verwobenes System von mathematischen Begriffen, Aussagen, Axiomen, Regeln usw. unterschiedlicher Abstraktionshöhe dar, das in einer langen Geschichte gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt. Dieser Prozess hat dabei seine Ursache sowohl in inneren Bedürfnissen der Mathematik selbst als auch in Anforderungen der Praxis.
Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf (nicht definierten) Grundbegriffen sowie auf Aussagen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den sogenannten Axiomen. Über diesem erhebt sich ein Geflecht von definierten Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen. Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden konnte und die deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.

Der Beweis für den Großen fermatschen Satz und die Lösung des Vierfarbenproblems (als Beispiel derartiger Vermutungen) gelang erst in jüngerer Vergangenheit.
Als Großer fermatscher Satz wird die Aussage bezeichnet, dass die Gleichung $x^n+y^n=z^n$ für natürliche Zahlen $n>2$ keine von 0 verschiedenen ganzzahligen Lösungen besitzt. PIERRE DE FERMAT (1601 bis 1665) formulierte seine Behauptung als Randnotiz bei der Beschäftigung mit den Werken des DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA (um 250), versehen mit dem Vermerk, dass er einen wunderbaren Beweis für deren Richtigkeit gefunden habe, doch der Blattrand zu schmal sei, um ihn anzugeben. So einfach die als eine Art Verallgemeinerung des bekannten Lehrsatzes von Pythagoras (mit unendlich vielen pythagoreischen Zahlentripeln als Lösungen) zu verstehende Aussage zu sein scheint: Fast dreieinhalb Jahrhunderte sollte es dauern, bis es ANDREW WILES (geb. 1953) Anfang der 90er Jahre des letzten Jahrhunderts gelang, unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse und Hilfsmittel der Algebra, der analytischen Geometrie sowie der Zahlentheorie den Beweis der fermatschen Behauptung zu erbringen.

Als Vierfarbenproblem aufgeworfen im Jahre 1852 durch den Engländer FRANCIS GUTHRIE (1831 bis 1899) – bezeichnet man die Frage, ob jede Landkarte so mit vier Farben gefärbt werden kann, dass benachbarte Länder stets verschiedenfarbig gekennzeichnet sind.
Über 100 Jahre vergingen, bis der korrekte Nachweis erbracht wurde, dass dies immer möglich ist. Da sich der Beweis amerikanischer Mathematiker aus dem Jahr 1976 vorrangig Computerberechnungen bediente und folglich vom Menschen nicht „per Hand“ nachvollzogen werden konnte, hatte er eine kontroverse Diskussion zur Folge.

Zu den bis heute ungelösten mathematischen Problemen zählt der Beweis jener Vermutung, die im Jahre 1742 von CHRISTIAN GOLDBACH (1690 bis 1764) in einem Brief an LEONHARD EULER formuliert wurde. Diese goldbachsche Vermutung besagt Folgendes:

• Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen
  GOLDBACH, der die 1 zu den Primzahlen zählte, verwendete folgende (zu obiger Aussage äquivalente Fassung):
• Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe dreier Primzahlen darstellen.

Im Jahre 1855 wurde die goldbachsche Vermutung für natürliche Zahlen bis 10000 bestätigt. Im 20. Jahrhundert stieg diese Obergrenze durch die Verwendung von elektronischen Hochleistungsrechnern schnell an und erreichte inzwischen die Zahl $4\cdot {10}^{14}.$

Ebenfalls noch nicht verifiziert wurde die Annahme, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Unter Primzahlzwillingen – diese Bezeichnung wurde erstmals von PAUL STÄCKEL (1862 bis 1919) benutzt – versteht man Primzahlen, zwischen denen in der Folge der natürlichen Zahlen nur genau eine andere Zahl steht, die also „den Abstand 2“ haben. Mit anderen Worten: Zwei Primzahlen $p_{1}und{p}_2$ heißen genau dann Primzahlzwillinge, wenn $p_1+2=p_2$ gilt. Die kleinsten Zwillinge sind also die Zahlen 3 und 5, es schließen sich $\left(5;7\right),\left(11;13\right),\left(17;19\right)\mathrm{...}$ an. Da man keine Bildungsvorschrift für solche Zahlenpaare kennt, bleibt nur die Möglichkeit, Proberechnungen durchzuführen. Ende 2002 wird $\text{33}\text{218}\text{925 }\cdot {\text{2}}^{\text{169}\text{690}}\text{ ± 1 }$ als größtes bislang bekanntes Zwillingspaar (Zahlen mit 51 090 Stellen) angegeben.

Neben den hier genannten gibt es noch eine große Zahl mathematischer Probleme, die erst nach langem Bemühen gelöst werden konnten – und ebenso solche, die noch einer Lösung harren.