Pierre de Fermat

Leben und Wirken

PIERRE DE FERMAT wurde 1607 in Beaumont an der Garonne (in der Gascogne, nahe Toulouse) geboren. Sein Vater war als Kaufmann, der vor allem mit Lederwaren handelte, recht begütert und konnte dem Jungen eine gute Erziehung ermöglichen. Als Geburtsdatum galt lange Zeit der 20. August 1601, und zwar aufgrund eines an diesem Tage ins Taufregister eingetragenen, früh verstorbenen Halbbruders gleichen Namens.

Pierre wurde zunächst von Franziskanermönchen unterrichtet, studierte dann in Toulouse Rechtswissenschaft und wurde Anwalt. Obwohl seine Kanzlei gut lief, trat er 1631 in den Staatsdienst ein, bekleidete am Gerichtshof zu Toulouse mehrere Ämter und wirkte dort 34 Jahre lang bis zu seinem Tode.

Er galt als redlich und unbestechlich (was damals keineswegs normal war) und erwarb sich durch seine Rechtschaffenheit großes Ansehen, sodass er für seine Verdienste geadelt wurde.

FERMAT lebte ruhig und zurückgezogen, scheute die Öffentlichkeit und führte ein gutes Familienleben, aus dem fünf Kinder hervorgingen. Er war sehr vielseitig gebildet, beherrschte alle wichtigen europäischen Sprachen und schrieb Gedichte in Französisch und Spanisch.

Seine Heimatstadt verließ er nur zu Dienstreisen. Während einer solchen starb er am 12. Januar 1665 in Castres bei Toulouse. Seine letzte Ruhestätte fand er in der Augustinerkirche von Toulouse.

Zur wissenschaftlichen Arbeitsweise von FERMAT

Die Beschäftigung mit der Mathematik betrieb FERMAT neben seinem Beruf, aus Liebhaberei. So ist zu erklären, dass zu Lebzeiten fast keine Veröffentlichungen von ihm existierten. Lediglich in einem regen Briefwechsel mit mathematischen Freunden (u.a. mit BLAISE PASCAL und RENÉ DESCARTES) hat er seine Entdeckungen weitergegeben.

Erst lange nach FERMATS Tod gab dessen ältester Sohn Samuel-Clément (der ebenfalls Anwalt war) zuerst die Randnotizen, die sein Vater in die von ihm gelesenen Bücher eingetragen hatte, und später (im Jahre 1679) eine Zusammenstellung von Aufzeichnungen heraus, dies unter dem Titel „Verschiedene mathematische Arbeiten des Herrn de Fermat, ausgewählt aus seinen Briefen …“.

Aus dieser Arbeitsweise FERMATS erklärt sich, dass er vor allem mit DESCARTES in Streit über die Priorität seiner Entdeckungen geriet.

Schaffung von Grundlagen der analytischen Geometrie

FERMAT beschäftigte sich mit einer ganzen Reihe von Teilgebieten der Mathematik. Er studierte die Werke der großen griechischen Mathematiker (wie etwa die von EUKLID, APOLLONIUS bzw. DIOPHANT) und bemühte sich, verloren gegangene Teile dieser Werke zu rekonstruieren. Darauf aufbauend und die Bezeichnungen von Größen durch Buchstaben nach VIETA nutzend, schuf er – fast zeitgleich mit DESCARTES – die Grundlagen der analytischen Geometrie, und zwar in seinem Werk „Ad locos planos et solidos isagoge“ (Einführung in die ebenen und körperlichen Örter).

Er zeigte darin, wie man geometrische Objekte durch Gleichungen beschreiben und geometrische Aufgaben rechnerisch lösen kann.
Beispielsweise wird durch die Gleichung
${\left(x-c\right)}^2+{\left(y-d\right)}^2=r^2$
ein Kreis beschrieben, der den Radius r und den Mittelpunkt
M(c; d) hat. Auf diese Weise lassen sich Schnittpunkte von Kurven rechnerisch ermitteln und bestimmte Eigenschaften von Figuren (wie etwa der Satz, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt und im Verhältnis 2:1 schneiden) beweisen. So wurde das Koordinatensystem zu einer Art geometrischem Rechenbrett.

In seinem Vorgehen benutzte FERMAT bereits Elemente der Differenzialrechnung (1628/29), wobei er Maxima und Minima (also größtmögliche und kleinstmögliche Werte) funktionaler Zusammenhänge ermittelte. Beispielsweise zeigte er, dass unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat, und er ermittelte rechnerisch die Lage von Tangenten an Kurven.

FERMATS Beitrag zur Entwicklung der Stochastik

Gemeinsam mit BLAISE PASCAL (1623 bis 1662) legte FERMAT den Grundstein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Obwohl es zu jener Zeit für solche Fragen auch bereits gesellschaftliche Bedürfnisse (Versorgungsprobleme, Versicherungen) gab, war der Ausgangspunkt doch kurios: Ein mit FERMAT und PASCAL befreundeter Adliger, der Chevalier DE MÉRÉ, der verarmt seinen Lebensunterhalt durch Glückspiele mit Würfeln bestritt und dafür immer neue Varianten erfand, bat die beiden Gelehrten, ihm die Chancen für einen Gewinn oder Verlust der jeweiligen Glücksspiele auszurechnen.
Zwei Beispiele seien dafür angeführt:

• Es wird 24-mal mit zwei Würfeln gewürfelt. Gewonnen wird, wenn wenigstens einmal ein Paar Fünfen fällt.
  (FERMAT zeigte, dass die Wahrscheinlichkeit, hierbei zu verlieren,${\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}$ betrug, also größer als $\frac{1}{2}$ war und riet ab.)
• Zwei Spieler müssen eine Partie vorzeitig abbrechen. Dem einem fehlen noch zwei gewonnene Spiele, dem anderen drei zum Sieg. In welchem Verhältnis ist der Einsatz aufzuteilen?
  (FERMAT kam dabei – ebenso wie PASCAL – auf das Verhältnis 11:5.)

Zahlentheoretische Sätze

FERMATS Lieblingsdisziplin indes war die Zahlentheorie. Hier fand er zahlreiche interessante Zusammenhänge und Gesetze, u.a. die folgenden:

• Jede natürliche Zahl n ist als Summe von höchstens vier Quadraten darstellbar, z.B.:
  $\text{54}={\text{7}}^{\text{2}}+{\text{2}}^{\text{2}}+{\text{1}}^{\text{2}}$
• Jede Primzahl der Form 4n + 1 lässt sich eindeutig als Summe von zwei Quadraten schreiben, z.B.:
  $\text{5}={\text{2}}^{\text{2}}+{\text{1}}^{\text{2}};13=3^2+{\text{2}}^{\text{2}}$

FERMAT fand auch heraus, dass 343 eine Kubikzahl ist, bei der die Summe aller ihrer Teiler eine Quadratzahl ergibt:
$1+7+49+343=400={20}^2$

Oder er beschäftigte sich mit sogenannten „befreundeten Zahlen“. Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede von ihnen gleich der Summe der echten Teiler der anderen ist. Ein Beispiel dafür sind die Zahlen 220 und 284.

Bei diesen zahlentheoretischen Untersuchungen unterliefen FERMAT auch Irrtümer. So glaubte er, entdeckt zu haben, dass der Term $2^{2^n}+1$ für alle natürlichen Zahlen n stets Primzahlen liefert.

Tatsächlich erhält man für n = 1, 2, 3 und 4 mit
$2^2+1=5;2^4+1=17;2^8+1=257und{2}^{16}+1=65537$
jeweils eine Primzahl. (Diese Zahlen sollten später bei der Frage der Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke mit Zirkel und Lineal eine Rolle spielen.)

$2^{32}+1$ ergibt 4294967297. LEONHARD EULER stellte später fest, dass diese Zahl durch 641 teilbar, also keine Primzahl ist.

Das fermatsche Problem (Die fermatsche Vermutung)

Ein Irrtum schließlich war es, der FERMATS Namen auch bei Nichtmathematikern berühmt gemacht hat. Bekanntlich gibt es Tripel natürlicher Zahlen x, y, z, für die
$x^2+y^2=z^2$
gilt, d.h., dass in diesen Fällen die Summe zweier Quadratzahlen wieder eine Quadratzahl ist. Diese Zahlen sind unter dem Namen pythagoreische Zahlentripel bekannt. Es gibt unendlich viele solcher Tripel und auch Formeln, mit deren Hilfe man diese finden kann. Es ist jedoch kein Tripel bekannt, für das entsprechend
$x^3+y^3=z^3$
gilt (wobei keine der Zahlen x, y, z Null sein darf).

Dieses Problem kam FERMAT beim Studium der Werke DIOPHANTS in den Sinn. Er war der Überzeugung, dass es solche Tripel für keine natürlichen Exponenten größer als 2 gäbe, und schrieb an den Rand des gerade gelesenen Buches (was eine Angewohnheit von ihm war, um Einfälle festzuhalten), er habe dafür einen wunderbaren Beweis gefunden, der Platz hier sei jedoch zu schmal, um ihn sogleich niederzuschreiben.

In seinen Aufzeichnungen fand sich jedoch nirgends ein solcher Beweis. Aber das Problem und seine Notiz durch FERMAT regten alle großen Mathematiker nach ihm an, nach einem solchen Beweis zu suchen. Hierbei wurden auch Teilergebnisse erreicht. EULER zeigte z.B., dass es für n = 3 keine solchen Tripel geben kann. Es gelang aber nicht, die Annahme, die man heute auch als (großen) Satz von FERMAT bezeichnet, allgemein nachzuweisen.

Als im Jahre 1905 ein Preis von 100.000 Reichsmark für einen solchen Beweis ausgesetzt und die Göttinger Akademie mit der Prüfung und Zuerkennung des Preises befugt wurde, traf dort eine Flut von Zuschriften (meist von Dilettanten) ein, und mehrere Mitarbeiter der Akademie mussten diese in mühseliger Arbeit prüfen, um deren Unzulänglichkeit zu zeigen. Man soll dem Vernehmen nach für die zu diesem Thema eingehenden Zuschriften ein Fach mit der Aufschrift „GIFT!“ eingerichtet haben.

Erst kurz vor der Jahrtausendwende (im Jahre 1994) wurde vom britischen Mathematiker ANDREW WILES (geb. 1953) ein vollständiger Beweis für diesen Satz von FERMAT der staunenden Fachwelt vorgelegt – das allerdings mit Mitteln, die FERMAT nicht zur Verfügung standen und zudem nur für Fachleute verständlich. So darf angenommen werden, dass sich FERMAT seinerzeit irrte, als er glaubte, einen einfachen Beweis gefunden zu haben.