Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn es eine Bewegung gibt, die ein Dreieck auf das andere abbildet. Die beiden Dreiecke stimmen dann in allen sechs Bestimmungsstücken oder Maßen überein (Bild 1). Die Konstruktion eines Dreiecks ist möglich, wenn drei voneinander unabhängige Bestimmungsstücke gegeben sind. Daher wird auch bei der Betrachtung der Kongruenz von Dreiecken von drei Seiten oder Winkeln ausgegangen.

Kongruenzsatz sss

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen (Bild 2).

Es sind $AB\cong DE,BC\cong FDundCA\cong EF,$
also ist auch $\Delta ABC\cong \Delta DEF$.
 

Kongruenzsatz sws

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (Bild 3).

Es sind $AB\cong DF,BC\cong EF$ und $\sphericalangle ABC\cong \sphericalangle EFD$,
also ist auch $\Delta ABC\cong \Delta DEF$.
 

Kongruenzsatz wsw

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (Bild 4).

$\sphericalangle CAB\cong \sphericalangle FDE,\sphericalangle ABC\cong \sphericalangle EFDundAB\cong FD$,
also ist auch $\Delta ABC\cong \Delta DEF$.
 

Kongruenzsatz SsW

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen (Bild 5).

Es sind $AB\cong DE,CA\cong DFund\sphericalangle BCA\cong \sphericalangle EFD$.
Da $\sphericalangle BCAund\sphericalangle EFD$ jeweils der größeren Seite gegenüberliegen, ist
also auch $\Delta ABC\cong \Delta DEF$.
 

Die Beispiele im Bild 6 zeigen, warum der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegen muss.
Solange die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite a kürzer als die andere ist, gibt es entweder gar keinen $\left(a_1\right)$, einen relativ ungenauen $\left(a_2\right)$ oder zwei Schnittpunkte $\left(a_3\right)$ mit dem freien Schenkel. Erst wenn der Radius des Kreisbogens a größer als die zweite Seite wird $\left(a_4\right)$, gibt es mit Sicherheit nur genau einen Schnittpunkt.