Logarithmengleichungen

Logarithmengleichungen nennt man solche Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt.

Rechnerisches Lösen von Logarithmengleichungen

Das Logarithmieren von Exponentialgleichungen führt zu Logarithmengleichungen. Auf solche Gleichungen führen aber auch Probleme, bei denen aus der Kenntnis des Exponenten auf die Basis geschlossen werden soll.

Beispiel 1:
Wie groß muss n mindestens sein, damit die k-te Potenz größer als eine gegebene Zahl m ($m>1$) ist?

Lösung:
$\begin{array}{l}k\lg n\ge \lg m|m,n>1;:k\\ \lg n\ge \frac{1}{k}\lg m\\ n\ge \frac{1}{{10}^k}m\end{array}$

Für gegebenes k und m kann man den Wert berechnen, der dann auf die nächstgrößere natürliche Zahl zu runden ist.
Mit dem interaktivem Rechenbeispiel können beliebige Gleichungen mit dekadischen Logarithmen gelöst werden.

Beispiel 2:
Nach wie vielen Jahren hat sich ein mit 5 % p. a. mit Zinseszins angelegtes Kapital K verdoppelt?

Lösung:
Am Ende eines jeden Jahres ist das vorhandene Kapital K mit 1,05 zu multiplizieren.
$\begin{array}{l}K\cdot {\mathrm{1,05}}^n=2K|:K\\ {\mathrm{1,05}}^n=2|\log arithmieren\\ n\cdot \lg \mathrm{1,05}=\lg 2|:\lg \mathrm{1,05}\\ n=\frac{\lg 2}{\lg \mathrm{1,05}}\\ n\approx \mathrm{14,2}\end{array}$

Im 15. Jahr hat sich das Kapital verdoppelt.

Beispiel 3:
Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich ein Kapital K in 12 Jahren?
Lösung:
$\begin{array}{l}K{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}=2K|:K\\ {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}=2|\log arithmieren\\ 12\lg \left(1+\frac{p}{100}\right)=\lg 2|:12\\ \lg \left(1+\frac{p}{100}\right)=\mathrm{0,0251}\\ 1+\frac{p}{100}={10}^{\mathrm{0,0251}}\\ 1+\frac{p}{100}\approx \mathrm{1,0595}\\ p\approx \mathrm{5,95}\end{array}$

Bei einem Zinssatz von ca. 6 % verdoppelt sich das Kapital in 12 Jahren.