Logarithmusgleichungen

Das Lösen von Logarithmengleichungen erfolgt, indem man beide Seiten zur Basis a potenziert und Logarithmen- bzw. Potenzgesetze anwendet:
$\begin{array}{c}{\log }_{a}x=b\\ a^{{\log }_{a}x}=a^b\\ x=a^b\end{array}$

• Beispiel 1: Wie groß muss eine natürliche Zahl a mindesten sein, damit ihre n-te Potenz größer als eine gegebene Zahl b $\left(mitb>a\right)$ ist?

Es ist also die Lösungsmenge der Ungleichung $a^n>b$ im Grundbereich der natürlichen Zahlen zu ermitteln (wobei b und n gegeben sind und a gesucht ist).
Lösung:
$\begin{array}{cc}{a}^n>b& \text{Logarithmieren zur Basis 10}\\ n\cdot \lg a>\lg b& \\ \lg a>\frac{1}{n}\cdot \lg b& \text{Potenzieren zur Basis 10}\\ a>{10}^{\frac{1}{n}\cdot b}& \end{array}$

• Beispiel 2: Wie groß muss eine Zahl sein, damit ihre 5. Potenz größer als 8000 ist?

Gesucht sind also alle natürlichen Zahlen a mit $a^5>8000.$ Es sind also $n=5undb=8000$ in die oben ermittelte allgemeine Lösung einzusetzen.
Man erhält:

$a={10}^{\mathrm{0,2}\cdot \lg 8000}\approx {10}^{\mathrm{0,781}}\approx \mathrm{6,03}$

Die Lösung lautet damit $a=7$.
Anmerkung: Ein Runden auf die Zahl 6 wäre falsch, denn es gilt $6^5=7776$.

Logarithmengleichungen können auch mithilfe von Computeralgebrasystemen gelöst werden.