Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik
  3. 3 Zahlen und Rechnen
  4. 3.2 Ganze Zahlen
  5. 3.2.1 Zahlbegriff; Zahldarstellungen
  6. Permanenzprinzip

Permanenzprinzip

Der deutsche Mathematiker HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip genannt.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip (Permanenz (lat.) – Beharrlichkeit) genannt. Dabei handelt es sich weder um ein Axiom noch um einen Satz mit Beweiskraft, sondern um ein methodologisches Prinzip. Es kann auch nicht erreicht werden, dass alle Gesetze des Ausgangsbereiches im erweiterten Zahlenbereich unverändert gelten.

In der Menge ℕ der natürliche Zahlen folgt für c ≠ 0 aus a < b stets
a ⋅ c < b ⋅ c (Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation).
In der Menge ℤ der ganzen Zahlen gilt dies bekanntlich so nicht mehr.
Aus a < b folgt a ⋅ c < b ⋅ c nur, wenn c > 0 (positiv) ist;
für c < 0 (negativ) ergibt sich a ⋅ c > b ⋅ c (Umkehrung des Relationszeichens).

Zu Zeiten HANKELs war ein mengentheoretischer Aufbau der Zahlenbereiche noch unbekannt. Heute würde man das Permanenzprinzip formulieren als Forderung, dass der neue (erweiterte) Zahlenbereich den alten (Ausgangsbereich) als Teilmenge enthalten muss.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Permanenzprinzip." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/permanenzprinzip (Abgerufen: 05. October 2025, 05:14 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Zahlbereich
  • Permanenzprinzip
  • Zahlenbereich
  • Permanenz
  • Zahlbereichserweiterung
  • Monotonie
  • Hankel
  • Zahlenbereichserweiterung
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Primzahlen

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl .
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn  sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1  1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn  sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn  ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Primzahlen, Historisches

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

Restklassen

Bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen spielen Teilbarkeitsbeziehungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.
So können bei der Division durch 5 die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten.
Die Teilmengen K 0 , K 1 , K 2 , K 3 und K 4 der natürlichen Zahlen, die bei der Division durch 5 entstehen, heißen Restklassen modulo 5.

Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Zur schriftlichen Subtraktion schreibt man die Zahlen (analog zur schriftlichen Addition) untereinander. Man subtrahiert (von rechts beginnend) spaltenweise und notiert das Ergebnis. Ist die Subtraktion nicht ausführbar, erhöht man den Minuenden um einen (oder mehrere) Zehner, die man in der nächsten Spalte zusätzlich subtrahiert.

Weitere Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Querdifferenz durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihr nach einem bestimmten Algorithmus ermittelt wird, durch 7 teilbar ist.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025