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Positionssysteme

Positionssysteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.
In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern a i dargestellt: Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalszystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.

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Historisches

Positionssyteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.

  • In Mesopotanien entstand von 2350 bis 2200 v. Chr. das erste große Reich, das Reich der Akkader. Schrift- und Zahlzeichen wurden in Tontafeln in Keilschrift dargestellt. Die Zentralverwaltung rationalisierte und vereinheitlichte die übernommenen Einheitensysteme.
    Nach dem Zusammenbruch des akkadischen Reiches bestand von 2123 bis 2015 v. Chr. ein Zentralstaat, die III. Dynastie von Ur. Jetzt entwickelte sich das Positionssystem der mesopotanischen Mathematik. Es war ein voll entwickeltes Positionssystem mit der Grundzahl 60 und 59 Grundziffern. Ein Zeichen für die Null gab es nicht, die entsprechende Stelle wurde freigelassen. Beispiele: Darstellung der Zahlen
    2 ( 2 ⋅ 60 0 ) 2 :   ↑ ↑ ,         61 ( 1 ⋅ 60 1 + 1 ⋅ 60 0 ) 61 :    ↑         ↑
  • Die Anfänge der Rechenkunst in China reichen weit in die Vorzeit zurück. So soll der legendäre GELBE KAISER drei Dienern folgende Aufträge erteilt haben: Xi He die Beobachtung der Sonne; Chang Yi die Beobachtung des Mondes und Li Shou die Erfindung der Arithmetik.
    Ein Einzelner dürfte indes kaum in der Lage gewesen sein, die Arithmetik zu erfinden. Sicher ist, dass während der SHANG-DYNASTIE (16. bis 11. Jh. v. Chr.) Zeichen für Ziffern verwendet wurden. In der sogenannten Orakelknochenschrift wurden z. B. die Zahlen 1 bis 4 durch waagerechte Striche (übereinander), die Zahl 5 durch X und die Zahl 6 durch ∩ dargestellt.
    Die größte auf Orakelknochen eingetragene Zahl ist 30 000, die kleinste 1. Die Einheiten Zehner, Hunderter, Tausender und Zehntausender wurden jeweils durch ein besonderes Zahlzeichen dargestellt.
    Rechnungen wurden im alten China ohne direkte Verwendung der Zahlen ausgeführt, man benutzte Rechenstäbchen. Um Zahlen darzustellen, wurden die Stäbchen entweder horizontal oder vertikal gelegt. Die Einer horizontal, die Zehner vertikal, die Hunderter wieder horizontal usw. Für die Null stand eine Leerstelle. Das Dezimalsystem im eigentlichen Sinne ist dann zwischen 770 und 221 v. Chr. entstanden.
     
  • Die Maya sind ein indianisches Volk im Norden Zentralamerikas (Mexiko, Guatemala, Honduras). Mehrere Millionen Indianer sprechen noch heute als Muttersprache eine von etwa 30 Mayasprachen.
    In vorkolumbianischer Zeit verfügten die Maya über eine ausgeprägte Hochkultur (höchstwahrscheinlich beschränkt auf eine dünne Oberschicht), deren Zeugnisse Tempel mit reich geschmückten Fassaden und beeindruckenden Wandgemälden sind. Im 1. Jh. v. Chr. entwickelte sich eine Bilderschrift. Von ihren etwa 750 bekannten Zeichen sind bisher wenig mehr als die Zahlzeichen und Zeitangaben sowie die Namen von Gottheiten und Herrschern entziffert. Bekannt ist, dass die Maya über recht genaue Kalender verfügten. Zahlen von 1 bis 19 werden mit Punkten für Einer und Strichen für Fünfer geschrieben. Für höhere Zahlen bediente man sich eines zusätzlichen Zeichens für 20 und eines Positionssystems mit der Basiszahl 20. Für die unbesetzte Stelle hatte man ein gesondertes Zeichen.
     
  • In Indien ist das erste erhalten gebliebene schriftliche Dokument einer (sicher schon Jahrhunderte vorher existierenden) hochentwickelten Kultur aus dem 3. Jh. v. Chr. Es ist in Sanskrit verfasst. Sanskrit beinhaltet ein Dezimalsystem und verfügt über verschiedene Namen für die neun Grundziffern sowie für 10, 100, 1000 und höhere Zehnerpotenzen.
    Ein Positionssystem, dass nur mit den Ziffern 1 bis 9 und der Null auskommt, ist durch einen Bericht von VASUMITRA über das von König KANISHKA (Ende 1. Jh./Anfang 2. Jh. ) einberufene Konzil des Buddhismus erstmals schriftlich dokumentiert. Im Jahre 662 verwies der syrische Autor SEVERUS SEBOKT auf die Leistungen der indischen Wissenschaft. So u. a. auf ihre Fähigkeit, mit nur neun Ziffern und der Null zu rechnen. Von Indien gelangte dieses Zahlsystem über die Araber zu uns. Die moderne Arithmetik hat ihre Wiege also in Indien.

Verschiedene Positionssysteme

In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern a i nach folgendem Prinzip dargestellt:
a m a m − 1 a m − 2 ... a 2 a 1 a 0 = a m ⋅ b m + a m − 1 ⋅ b m − 1 + ... + a 2 ⋅ b 2 + a 1 ⋅ b 1 + a 0 ⋅ b 0
Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalsystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Positionssysteme." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/positionssysteme (Abgerufen: 09. June 2025, 13:40 UTC)

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Verwandte Artikel

Muhammad ibn Musa Al-Chwarizmi

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI, persisch-arabischer Mathematiker
* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (auch AL-KHWARIZMI) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 bis 850 lebte und insbesondere am Hof des Kalifen AL-MANSUR in Bagdad wirkte.
AL-CHWARIZMI führte die indische Ziffernschreibweise und damit das dekadische Positionssystem in den arabischen Kulturkreis ein und beschrieb diese in einem Lehrbuch, das 820 erschien. In diesem Buch findet man vor allem die Gesamtheit der Regeln (Handlungsvorschriften) zum formalen Lösen von Gleichungen – und aus dem Namen des Autors wurde für Handlungsvorschriften der Begriff „Algorithmus“ abgeleitet.

Permanenzprinzip

Der deutsche Mathematiker HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip genannt.

Primzahlen

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl .
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn  sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1  1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn  sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn  ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Dualsystem

Das Dualsystem verwendet als Basis die Zahl 2. Grundziffern sind die 0 und die 1.
Das Dualsystem wird auch als Binärsystem bezeichnet.

Primzahlen, Historisches

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

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