Quadratische Funktionen, Graphen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.

Für $a\ne 1$ erhalten wir als Graphen im Vergleich zum Graphen von $y=f\left(x\right)=x^2+bx+c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel:
 

Die Parabel mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=a{x}^2$ besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt $S\left(0;0\right)$.
Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 1$ zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
$\begin{array}{c}a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\ =a\left[\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+\left(-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}\right)\right]\\ =a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]\\ =a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a}+c\\ =a{\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{array}$

Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
     $S\left(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

Beispiel 1: Graphen von $y=f\left(x\right)=a{x}^2$ für verschiedene Werte von a (Bild 1).
 

Beispiel 2: Graphen von $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ für verschiedene Werte von a (Bild 2).

$\begin{array}{l}•y=f_1\left(x\right)=2x^2-4x=2\left[{\left(x-1\right)}^2-1\right]=2{\left(x-1\right)}^2-2\\ \Rightarrow S\left(1;-2\right)\end{array}$
$\begin{array}{l}•y=f_2\left(x\right)=-2x^2+4x=-2\left[{\left(x-1\right)}^2-1\right]=-2{\left(x-1\right)}^2+2\\ \Rightarrow S\left(1;2\right)\end{array}$
$\begin{array}{l}•y=f_3\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-x=\frac{1}{2}\left[{\left(x-1\right)}^2-1\right]=\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow S\left(1;-\frac{1}{2}\right)\end{array}$