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Restklassen

Bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen spielen Teilbarkeitsbeziehungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.
So können bei der Division durch 5 die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten.
Die Teilmengen K 0 , K 1 , K 2 , K 3 und K 4 der natürlichen Zahlen, die bei der Division durch 5 entstehen, heißen Restklassen modulo 5.

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Teilbarkeitsbeziehungen spielen bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.

Bei Division durch 5 können die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten;
den Rest 0 lassen die Zahlen 0, 5, 10, 15, ..., 5n ( n ∈ ℕ ) ,
den Rest 1 lassen die Zahlen 1, 6, 11, 16, ..., 5n + 1 ( n ∈ ℕ ) ,
den Rest 2 lassen die Zahlen 2, 7, 12, 17, ..., 5n + 2 ( n ∈ ℕ ) ,
den Rest 3 lassen die Zahlen 3, 8, 13, 18, ..., 5n + 3 ( n ∈ ℕ ) ,
den Rest 4 lassen die Zahlen 4, 9, 14, 19, ..., 5n + 4 ( n ∈ ℕ ) .

Damit ist die Menge der natürlichen Zahlen ℕ in 5 Teilmengen
K i (i = 0, 1, 2, 3, 4) natürlicher Zahlen, die bei Division durch 5 den Rest i lassen, unterteilt. Keine dieser Teilmengen ist leer, auch gibt es keine Zahl, die in zwei Teilmengen vorkommt. Die Gesamtheit (Vereinigung) der Teilmengen ergibt ℕ .

Damit liegt eine Klasseneinteilung vor und die Relation „die Zahl b lässt bei Division durch 5 denselben Rest wie die Zahl a“ (aRb) ist eine Äquivalenzrelation.

Eine Relation aRb heißt Äquivalenzrelation, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
Sie ist

  • reflexiv, d. h. es gilt aRa,
  • symmetrisch, d. h. aus aRb folgt bRa,
  • transitiv, d. h. aus aRb und bRc folgt aRc
    (wenn a den gleichen Rest lässt wie b und b den gleichen wie c, dann lassen auch a und c den gleichen Rest).

Gibt es in einer Menge eine Äquivalenzrelation, so gehört zu ihr eindeutig eine Klasseneinteilung (Unterteilung in Äquivalenzklassen) dieser Menge. Umgekehrt gehört zu jeder Klasseneinteilung eine Äquivalenzrelation.

Die Teilmengen K 0 , K 1 , K 2 , K 3 und K 4 heißen Restklassen modulo 5.
Wählt man aus jeder Klasse einen Vertreter aus, so erhält man ein vollständiges Restesystem modulo 5. Die Menge R = { 15 ;   6 ;   22 ;   3 ;   29 } ist ein solches. Wählt man aus jeder Restklasse die kleinste Zahl aus, erhält man das System der kleinsten Reste.
R k = { 0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 } ist das System der kleinsten Reste modulo 5.
Restklassen lassen sich für jede natürliche Zahl b > 1 bilden.

Wenn man die Teilbarkeitsrelation auf ganze Zahlen erweitert, was durchaus üblich ist, können für die Menge der ganzen Zahlen ℤ ebenfalls Restklassen gebildet werden. Die Zahlen –2 und 3 liegen dann modulo 5 in derselben Restklasse.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Restklassen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/restklassen (Abgerufen: 10. June 2025, 08:42 UTC)

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Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
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In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

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Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

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